L'énoncé
Déterminer une ou plusieurs primitives de chacune des fonctions suivantes :
Question 1
Déterminer deux primitives sur \(\left]0;+\infty\right[\) de \(f : x\mapsto \dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{3}x^2\)
Deux primitives de \(f\) sont par exemple :
\(F_1 : x\mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3\)
\(F_2 : x\mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3 -12\)
Donnez une primitive de chacun des termes.
Pour obtenir deux primitives, il suffit de choisir deux constantes d’intégration différentes.
Question 2
Déterminer deux primitives sur \(\left]0;+\infty\right[\) de \(g : x\mapsto \dfrac{2}{\sqrt{x}}-x\sqrt{2}\)
Deux primitves de \(g\) sont par exemple :
\(G_1 : x\mapsto 4\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2\)
\(G_2 : x\mapsto 4\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2-3,5\)
Donnez une primitive de chacun des termes.
Pour obtenir deux primitives, il suffit de choisir deux constantes d’intégration différentes.
Question 3
Déterminer deux primitives sur \(\left]0;+\infty\right[\) de la fonction \(f : x\mapsto \dfrac{3x^3 + 2x^2 + 1}{x^2}\)
La fonction \(f\) peut sécrire : \(f : x\mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^2}\)
Deux primitives de la fonction \(f\) sont par exemple :
\(F_1 : x\mapsto \dfrac{3}{2}x^2 + 2x -\dfrac{1}{x}\)
\(F_2 : x\mapsto \dfrac{3}{2}x^2 + 2x -\dfrac{1}{x}-3\)
Séparez cette expression en somme de trois fractions de même dénominateur.
Simplifiez les fractions si vous pouvez.
Donnez une primitive de chaque terme en utilisant les astuces des premiers exemples.
Question 4
Déterminer deux primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(f : x\mapsto 5(4x - 1)^6\)
On utilise la formule suivante \(u'(x)\times u(x)^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1} \times u(x)^{n+1}\)
avec \(u(x) = 4x-1\) et \(n=6\).
Deux primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sont donc par exemple :
\(F_1 : x\mapsto \dfrac{5}{4\times 7}(4x-1)^7\)
\(F_2 : x\mapsto \dfrac{5}{4 \times 7}(4x-1)^7-1,4\)
c'est à dire :
\(F_1 : x\mapsto \dfrac{5}{28}(4x-1)^7\)
\(F_2 : x\mapsto \dfrac{5}{28}(4x-1)^7-1,4\)
\(u'(x)\times u(x)^n\) a pour primitive \(\dfrac{1}{n+1}\times u(x)^{n+1}\)
Faites apparaitre la constante qui vous manque.
Question 5
Déterminer deux primitives sur \(\left]1;+\infty\right[\) de \(g : x\mapsto \dfrac{7}{(3x+2)^5}\)
On utilise la formule suivante : \(\dfrac{1}{u(x)^n} = u(x)^{-n}\)
avec \(u(x) = 3x+2\) et \(n=-5\).
On a : $g(x)=\dfrac{7}{(3x+2)^5}$
$g(x)=\dfrac{7}{3}\times \dfrac{3}{(3x+2)^5}$
$g(x)=\dfrac{7}{3}\times 3\times (3x+2)^{-5}$
Or, $u'u^n$ admet pour primitive $\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$ avec $n=-5$
Donc $3\times (3x+2)^{-5}$ admet pour primitive $\dfrac{1}{-5+1}(3x+2)^{-5+1}$=$-\dfrac{1}{4}(3x+2)^{-4}$
Deux primitives de \(g\) sur \(\left]1;+\infty\right[\) sont donc par exemple:
\(G_1 : x\mapsto -\dfrac{7}{12(3x+2)^4}\)
\(G_2 : x\mapsto -\dfrac{7}{12(3x+2)^4}-7\)
N’oubliez pas que \(\dfrac{1}{u(x)^n} = u(x)^{-n}\)
Utilisez alors toutes les astuces et méthodes de la question 10.