L'énoncé
Pour tout entier naturel \(n\), on définit; \(I_n=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x)dx\) et \(J_n=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x)dx\)
Question 1
Calculer \(I_0\) et \(J_0\).
\(I_0=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)dx = \left[-\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(J_0=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)dx = \left[\sin(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\)
Connaissez-vous bien les primitives de fonctions trigonométriques ? A savoir pas cœur…
Question 2
On admet que \(I_n\) et \(J_n\) vérifient le système suivant : \(\left\{\begin{array}{left} I_n +n J_n = 1 \\ -n I_n + J_n = e^{-n\frac{\pi}{2}} \end{array}\right.\)
En déduire les expressions de \(I_n\) et \(J_n\) en fonction de \(n\).
On résout facilement le système :
\(\left\{\begin{array}{left} I_n +n J_n = 1 \\ -n^2 I_n + nJ_n = ne^{-n\frac{\pi}{2}} \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow (1+n^2)I_n=1-ne^{-n\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow I_n=\dfrac{1-ne^{-n\frac{\pi}{2}}}{1+n^2}\)
Puis :
\(\left\{\begin{array}{left} nI_n +n^2 J_n = n \\ -n I_n + J_n = e^{-n\frac{\pi}{2}} \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow (1+n^2)J_n=n+e^{-n\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow J_n=\dfrac{n+e^{-n\frac{\pi}{2}}}{1+n^2}\)
Bon, des exponentielles se sont glissées dans vos calculs mais la méthode reste la même.
Question 3
Déterminer la limite de \(I_n\) et celle de \(J_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Pour la limite de \(I_n\), il faut utiliser le théorème des croissances comparées pour le terme : \(-ne^{-n\frac{\pi}{2}}\). Ceci tend vers $0$ bien sur.
Ainsi : \(\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} I_n=0\)
Pour \(J_n\), on sait que \(\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} J_n = \lim\limits_{\substack{n \to \infty}} \dfrac{n}{n^2}\).
On factorise par \(n\) pour obtenir :
\(\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} J_n = \lim\limits_{\substack{n \to \infty}} \dfrac{n}{n} \times \dfrac{1}{n} = \lim\limits_{\substack{n \to \infty}} \dfrac{1}{n} = 0\)
Le théorème des croissances comparées est rappelé dans les pré-requis. Au cas où...