L'énoncé
Calculer chaque intégrale donnée en détaillant les calculs.
Question 1
$I=\displaystyle \int_0^1 x^3-1 \ dx$
$I=\displaystyle \int_0^1 x^3-1 dx$
$I= \left[\dfrac{x^4}{4}-x\right]_0^1$
$I= \dfrac{1}{4}-1$
$I= -\dfrac{3}{4}$ u.a ( unités d'aire)
Rappel : une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
Question 2
$J=\displaystyle \int_{-1}^1 2x^3+x \ dx$
$J=\displaystyle \int_{-1}^1 2x^3+x dx$
$J= \left[\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^1$
$J= \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}\right)$
$J= 0$ u.a ( unités d'aire)
Rappel : une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
On peut aussi remarquer que la fonction $f(x)=2x^3+x$ est impaire.
Question 3
$K=\displaystyle \int_{-1}^1 e^{2x+1} dx$
$K=\displaystyle \int_{-1}^1 e^{2x+1} dx$
$K= \left[\dfrac{1}{2}e^{2x+1}\right]_{-1}^1$
$K=\dfrac{1}{2}(e^3-e^{-1})$ u.a
Une primitive de $u'(x) e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$
Question 4
$L=\displaystyle \int_{0}^1 4xe^{x^2-1} dx$
$L=\displaystyle \int_{0}^1 4xe^{x^2-1} dx$
On note que $2xe^{x^2-1}$ est de la forme $u'(x) e^{u(x)}$ avec $u(x)=x^2$
Ainsi une primitive est $e^{x^2-1}$ et :
$L=2\displaystyle \int_{0}^1 2xe^{x^2-1} dx$
$L=2\left[e^{x^2-1} \right]_0^1$
$L=2(e^0-e^{-1})$
$L=2(1-e^{-1})$ u.a
Une primitive de $u'(x) e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$
Question 5
$M= \displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} dx$
$M= \displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} dx$
On remarque que la fonction est de la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x)=x^2+x+1$
Une primitive est donc : $\ln|(u(x)|$
Ainsi, après avoir vérifié que $x^2+x+1>0$ sur $[0;1]$,
$M=\left[\ln(x^2+x+1) \right]_0^1$
$M=\ln(3) -\ln(1)$
$M=\ln(3)$ u.a
Une primitive de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln|(u(x)|$