L'énoncé
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Question 1
Soit $f$ une fonction strictement monotone et continue,
Soit $g$ la fonction réciproque de $f$, alors
$f \circ g(x) = x$
$g(f(x)) = x$
C'est vrai, par définition de la fonction réciproque.
$g$ est strictement positive
On pourra revoir la vidéo du cours au besoin.
Question 2
Donner la fonction réciproque de $f(x) = 3x + 4$ pour tout réel $x$.
$g(x) = \dfrac{1}{3x + 4}$
$g(x) = \dfrac{x}{3} - 4$
$g(x) = \dfrac{x- 4}{3}$
En effet, $f$ est strictement croissante et continue car dérivable pour tout réel $x$.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On pose $y = f(x)$
$\iff y = 3x + 4$
$\iff y - 4 = 3x$
$\iff \dfrac{y - 4}{3} = x$
Ainsi, $g(x) = \dfrac{x - 4}{3}$
On appliquera la méthode du cours.
Question 3
Donner la fonction réciproque de $f(x) = x^2 - 5$ pour tout réel $x$.
$g(x) = \sqrt{x+5}$
$g(x) = \sqrt{x}+5$
Ce n'est pas possible
En effet, $f$ n'est pas strictement monotone sur $\mathbb{R}$.
Il faut donc restreindre l'étude sur $]-\infty, 0]$ ou sur $[0; + \infty[$.
On se demandera si les conditions sont réunies pour chercher la réciproque de $f$.
Question 4
Donner la fonction réciproque de $f(x) = 2x^2 + 1$ pour tout $x \in ]-\infty; 0]$.
$g(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{x-1}$
En effet, $f$ est strictement décroissante pour $x \in ]-\infty; 0]$ et continue car dérivable.
Soit $x \in ]-\infty; 0]$,
On pose $y = f(x)$,
$y = f(x)$
$\iff y = 2x^2 + 1$
$\iff \dfrac{y - 1}{2} = x^2$
La subtilité du calcul se trouve ici.
En effet, $\sqrt{x^2} = |x|$
Or $x \leq 0$ donc $\sqrt{x^2} = -x$
$\iff \sqrt{\dfrac{y - 1}{2}} = -x$
$\iff -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{y-1} = x$
Finalement, $g(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{x-1}$
$g(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{x-1}$
$g(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{2}}$
On fera attention au signe de $x$.
Question 5
Soit $f(x) = \ln(x+1)$ pour tout $x > -1$. Déterminer sa fonction réciproque $g$.
$g(x)=e^x -1$
En effet, $f$ est strictement croissante et continue car dérivable sur $]-1; + \infty[$.
Soit $x \in ]-1; + \infty[$,
On pose $y = f(x)$.
Ainsi $y = \ln(x+1)$
$\iff e^y = x+1$
$\iff e^y-1 = x$
Finalement $g(x) = e^x-1$
$g(x)=e^{x -1}$
$g(x)=e^{x+1}$
On appliquera la méthode du cours.
C'est une bonne réponse.
En effet, $f \circ g(x) = f(g(x)) = x$ par définition de la fonction réciproque.