L'énoncé
Une entreprise fabrique entre 1000 et 4000 armoires par mois. Le coût total de fabrication pour \(x\) milliers d’armoires, exprimé en milliers d’euros, est modélisé par la fonction :
\(C(x) = 2x - \sqrt{x}+4\) pour \(x\) appartenant à \([1 ; 4]\).
Question 1
Calculer la dérivée de \(C\).
\(C\) est dérivable sur $[1 ; 4]$ et
\(C'(x) = 2-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4\sqrt{x}-1 }{2\sqrt{x} }\)
Connaissez-vous la dérivée de la fonction racine carrée ? Sinon, il faut l’apprendre !
Question 2
Résoudre l'inéquation : \(4\sqrt{x}-1\geq 0\).
\(4\sqrt{x}-1\geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x}\geq \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{16}\)
Il faut connaître et savoir travailler avec la fonction racine carrée.
Question 3
En déduire les variations de \(C\).
Pour tout \(x\) appartenant à [1 ; 4], \(C'(x)\geq 0\). Donc \(C\) est croissante sur [1 ; 4].
Avez-vous utilisé la question précédente pour déterminer le signe de \(C’(x)\) ? Bien, maintenant il suffit de conclure…
Question 4
Interpréter économiquement les variations du coût total.
La fonction de coût total est croissante, donc plus l'entreprise fabrique d'armoires, plus cela coûte cher à l'entreprise de les fabriquer.
On demande de faire le lien entre les résultats trouvés par le calcul et la situation concrète décrite par l’énoncé. Il faudrait par conséquent relire l’énoncé pour comprendre à quoi correspond la fonction étudiée.