Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3 −9x^2 +4.$
Etudier la convexité de la fonction $f$.
Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,on a $f '(x)=x^2 −18x$. Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,on a $f ''(x)=2x−18$ qui s’annule en $x=9$.
Pour tout $x≤9, f''(x)≤0$.
Pour tout $x≥9, f''(x)≥0$.
$f '$ est donc strictement décroissante sur $]−∞ ; 9]$ et donc $f$ est concave sur $]−∞ ; 9]$.
$f '$ est donc strictement croissante sur $[9 ; + ∞[$ et donc $f$ est convexe sur $[9 ; + ∞[$.