L'énoncé
Le symbole $\displaystyle\sum$ désigne une somme de plusieurs termes.
Question 1
Calculer : $S_1= \displaystyle\sum_{k=0}^{k=3}k^2$
$S_1= \displaystyle\sum_{k=0}^{k=3}k^2$
$S_1= 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$
$S_1= 14$
Bien compter le nombre de termes.
Il y a 4 termes.
Question 2
Calculer : $S_2= \displaystyle\sum_{k=0}^{k=2}\dfrac{1}{k+1}$
$S_2= \displaystyle\sum_{k=0}^{k=2}\dfrac{1}{k+1}$
$S_2=\dfrac{1}{0+1}+ \dfrac{1}{1+1}+ \dfrac{1}{2+1}$
$S_2=\dfrac{1}{1}+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}$
$S_2=\dfrac{11}{6}$
Il y a trois termes.
Question 3
Calculer : $S_3= \displaystyle\sum_{p=0}^{p=9}(-1)^p$
$S_3= \displaystyle\sum_{p=0}^{p=9}(-1)^p$
$S_3=(-1)^0 + (-1)^1 + (-1)^2 + ...(-1)^9$
Il y a dix termes. La moitié sont égaux à $1$ (puissances paires) et les autres sont égaux à $-1$.
Ainsi : $S_3=0$
Quelles sont les valeurs possibles de $(-1)^p$ pour $p$ entier ?
$1$ et $-1$ bien sûr.
Compter le nombres de termes.
Question 4
Exprimer l'expression suivante à l'aide du symbole $\displaystyle\sum$ :
$S_4= \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{14}$
$S_4= \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{14}$
On remarque que les dénominateurs sont des entiers pairs donc de la forme $2k$ avec $k$ entier compris entre $3$ et $7$.
Ainsi :
$S_4= \displaystyle\sum_{k=3}^{k=7}\dfrac{1}{2k}$
Observer les dénominateurs. ils sont pairs.
Tout entier pair peut s'écrire sous la forme $2k$ avec $k$ entier.
Question 5
Exprimer l'expression suivante à l'aide du symbole $\displaystyle\sum$ :
$S_4= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{49}$
$S_4= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{49}$
On remarque que les dénominateurs sont les carrés des entiers $k$ allant de $2$ à $7$.
Attention au signe, les termes faisant intervenir les carrés des nombres impairs sont négatifs donc on devra ajouter $(-1)^k$ devant.
$S_5= \displaystyle\sum_{k=2}^{k=7}(-1)^k\dfrac{1}{k^2}$
Bien observer les dénominateurs. Ce sont des carrés d'entiers.
Pour alterner les signes en mathématiques, on utilise $(-1)^k$ avec $k$ entier.