L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
On considère l'univers \(\Omega =\{-1 ;0 ;1 ;2 ;4\}\) et on définit la loi de probabilité suivante sur \(\Omega\) :
| \(X\) | $-1$ | $0$ | $1$ | $ 2 $ | $4$ |
| $p_i$ | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{5}{12}\) | $a$ | \(\frac{1}{12}\) |
Que vaut le nombre $a$ ?
\(a = \dfrac{1}{6}\)
\(a = \dfrac{4}{3}\)
\(a = \dfrac{1}{12}\)
\(a = \dfrac{1}{4}\)
La somme des \(p_i\) doit être égale à 1.
\(\dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{5}{12}+a+\dfrac{1}{12}=1\)
\(\dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{5}{12}+a+\dfrac{1}{12}=1\)
Soit : \(\dfrac{2}{12}+ \dfrac{3}{12}+ \dfrac{5}{12}+a+\dfrac{1}{12}=1\)
Donc : \(a+\dfrac{11}{12}=1\) et \(a=\dfrac{1}{12}\)
Retenir que lorsque l’on a une loi de probabilité, la somme des \(p_i\) doit être égale à 1 : c’est souvent utile dans les exercices !
Question 2
On considère l'univers \(\Omega =\{-1 ;0 ;1 ;2 ;4\}\) et on définit la loi de probabilité suivante sur \(\Omega\) :
| \(X\) | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ |
| $p_i$ | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{5}{12}\) | $\frac{1}{12}$ | \(\frac{1}{12}\) |
L'espérance de \(X\) est :
\(\dfrac{3}{4}\)
\(0\)
\(\dfrac{13}{12}\)
\(\dfrac{-1}{6}\)
Formule de l’espérance à connaître par cœur !
\(E(X)= …\)
\(E(X)=(-1)\times \frac{1}{6} + 0\times \frac{1}{4} + 1\times \frac{5}{12} + 2\times \frac{1}{12} + 4\times \frac{1}{12}\)
\(E(X)=-\frac{1}{6}+\frac{5}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\)
\(E(X)=\frac{3}{4}\)
Question 3
On considère l'univers \(\Omega =\{-1 ;0 ;1 ;2 ;4\}\) et on définit la loi de probabilité suivante sur \(\Omega\) :
| \(X\) | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ |
| $p_i$ | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{5}{12}\) | $\frac{1}{12}$ | \(\frac{1}{12}\) |
Sachant que $E(X)=\dfrac{3}{4}$, déterminer la variance et l'écart-type de $X$
La variance de \(X\) est \(\dfrac{27}{16}\).
La variance de \(X\) est \(\dfrac{25}{16}\).
L’écart-type est égal à \(\dfrac{\sqrt{27} }{16}\).
L’écart-type est égal à \(\dfrac{3\sqrt{3} }{4}\).
Formule de la variance et de l’écart-type à connaître par cœur !
Ne pas oublier de tenir compte des signes de \(X\).
\(V(X)= (-1-\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{6} +(0-\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} +(1-\frac{3}{4})^2 \times \frac{5}{12} +(2-\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{12} +(4-\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{12} \)
\( V(X) = (\frac{7}{4})^2 \times \frac{1}{6} + (\frac{3}{4}) ^2 \times \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 \times \frac{5}{12} +(\frac{5}{4})^2 \times \frac{1}{12} +(\frac{13}{4})^2\times \frac{1}{12}\)
\( V(X)= \frac{324}{192} = \frac{81}{48}= \frac{27}{16}\)
Proposition 1 vraie.
\( \sigma(X)=\sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{27}{16}} =\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Proposition 4 vraie.
Question 4
Une urne contient 50 boules numérotées de 1 à 4.
| Numéro inscrit | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| Nombre de boules | $20$ | $8$ | $12$ | $10$ |
On choisit une boule au hasard dans cette urne.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au numéro porté par la boule choisie.
Cocher les propositions justes.
Les valeurs possibles de \(X\) sont \(0, 1, 2, 3\) et \(4\).
On a \(p(X=2)=\dfrac{1}{4}\)
On a \(p(X=2)=\dfrac{4}{25}\)
On a \(E(X)=\dfrac{56}{25}\)
\(X\) est le numéro porté par la boule, donc il varie de 1 à 4.
\(p(X=2)\) désigne la probabilité que la boule choisie au hasard porte le numéro 2.
Tenez bien compte des effectifs en calculant \(p(X=2)\).
Pour la formule de l’espérance, c’est à savoir par cœur ! Revoir le cours si ce n’est pas le cas…
Les valeurs possibles de \(X\) sont \(1, 2,3\) et \(4\). Proposition 1 fausse.
\( p(X=2)=\frac{nombre \ de \ boules \ avec \ le \ numéro \ 2} {nombre \ total \ de \ boules} = \frac{8}{50} = \frac{4}{25}\).
Propositions 2 fausse et 3 vraie.
La loi de probabilité de \(X\) est :
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| \(X\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $p_i$ | \(\frac{20}{50}=\frac{2}{5} \) | \(\frac{8}{50}=\frac{4}{25} \) |
Question 5
Une urne contient $50$ boules numérotées de 1 à 4.
| Numéro inscrit | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| Nombre de boules | $20$ | $8$ | $12$ | $10$ |
On gagne 5 euros si le numéro de la boule tirée est pair, et on perd 3 euros si celui-ci est impair.
On note \(Y\) le gain obtenu à ce jeu.
Cocher les propositions justes.
Les valeurs possibles de \(Y\) sont \(3\) et \(5\).
Les valeurs possibles de \(Y\) sont \(-3\) et \(5\).
\(E(Y)= \dfrac{2}{25}\)
\(E(Y)= \dfrac{-3}{25}\)
En mathématiques, un gain peut être négatif : lorsque le numéro est impair, on perd $3$ euros, et le gain est de $ -3$ (on note \(Y=-3\)).
Calcule \(p(Y=-3)\) et \(p(Y=5)\).
Ensuite, il ne reste qu’à appliquer la formule de l’espérance.
Les valeurs possibles de \(Y\) sont \(-3\) et \(5\).
On peut chercher à établir la loi de probabilité de \(Y\) :
Pour la valeur \(Y= - 3\) :
Cela signifie que la boule porte un numéro impair : soit \(X= 1\) ou \(X=3\)
\(p(Y=-3) = p(X=1) +p(X=3) = \frac{20}{50} + \frac{12}{50} = \frac{32}{50}= \frac{16}{25}\)
Pour la valeur \(Y= 5\) :
Cela signifie que la boule porte un numéro pair : soit \(X= 2\) ou \(X=4\)
\(p(Y=5) = p(X=2) +p(X=4) = \frac{8}{50} + \frac{10}{50} = \frac{18}{50}= \frac{9}{25}\)
Ainsi :
\(E(Y)= -3 \times \frac{16}{25} + 5 \times \frac{9}{25} = \frac{-3}{25}\)
L’espérance est la valeur que tu peux espérer obtenir en moyenne pour \(Y\) lorsque tu réalises un grand nombre de fois l’expérience.
Ici, c’est \(\frac{-3}{25} =-0,12 \) : si tu joues une grand