L'énoncé
On se place dans un repère orthonormé de l'espace. $\Omega$ et $M$ sont des points de l'espace et $R$ un réel positif ou nul.
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Question 1
La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant :
$\Omega R=M$
$\Omega M=R$
$MR=\Omega$
Question 2
Soient $M(x;y;z)$ et $\Omega(x_{\Omega};y_{\Omega};z_{\Omega})$. L'équation cartésienne de la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est :
$(x-x_{\Omega})+(y-y_{\Omega})+(z-z_{\Omega})=R$
$(x+x_{\Omega})+(y+y_{\Omega})+(z+z_{\Omega})=R$
$(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2+(z-z_{\Omega})^2=R$
$(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2+(z-z_{\Omega})^2=R^2$
Cela découle de $\Omega M^2=R^2$
Question 3
L'équation cartésienne de la sphère de centre $\Omega(1;2;4)$ et de rayon $R=5$ est :
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=25$
On applique la formule : $(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2+(z-z_{\Omega})^2=R^2$
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=5$
$(x+1)^2+(y+2)^2+(z+4)^2=25$
Question 4
L'équation cartésienne de la sphère de centre $\Omega(1;0;-2)$ et de rayon $R=\sqrt 2$ est :
$(x-1)^2+(y)^2+(z+2)^2=\sqrt 2$
$(x+1)^2+(y)^2+(z-2)^2=2$
$(x-1)^2+(y)^2+(z+2)^2=2$
On vérifie que $(\sqrt 2)^2 =2$
Question 5
L'équation cartésienne de la sphère de centre $\Omega(-1;0;3)$ et de rayon $R=2\sqrt3$ est :
$(x+1)^2+(y)^2+(z-3)^2=12$
On vérifie que $(2\sqrt3)^2=12$
$(x+1)^2+(y)^2+(z-3)^2=6$
$(x+1)^2+(y)^2+(z-3)^2=24$
Question 6
Déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère ayant pour équation cartésienne : $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-5)^2=100$
$\Omega(1;2;5)$ et $R=100$
$\Omega(1;2;5)$ et $R=10$
$\Omega(-1;-2;-5)$ et $R=10$
Question 7
Déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère ayant pour équation cartésienne : $(x+1)^2+y^2+(z+7)^2=20$
$\Omega(-1;0;-7)$ et $R=2\sqrt{10}$
$\Omega(-1;0;-7)$ et $R=\sqrt{10}$
$\Omega(-1;0;-7)$ et $R=2\sqrt{5}$
On vérifie que $(2\sqrt{5})^2=20$
Question 8
Déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère ayant pour équation cartésienne : $x^2-4x+y^2 +z^2 =0$
$\Omega(2;0;0)$ et $R=2$
On a : $x^2-4x+y^2 +z^2 =0 \iff (x-2)^2-4+y^2 +z^2 =0 \iff (x-2)^2+y^2 +z^2 =4$
$\Omega(-4;0;0)$ et $R=4$
$\Omega(-4;0;0)$ et $R=2$
C'est l'ensemble des points de l'espace situés à la même distance du centre.