L'énoncé
L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\). On considère les points \(A(– 1 ; 2 ; 1)\), \(B(1 ; – 6 ; – 1)\), \(C(2 ; 2 ; 2)\) et \(L(0 ; 1 ; – 3)\).
Question 1
Déterminer une équation cartésienne du plan \(P\) contenant les trois points \(A\), \(B\) et \(C\).
$P$ est un plan donc a une équation de la forme : \(a x + b y + c z + d = 0\) avec $a, b,c$ et $d$ réels.
\(A \in P\) donc \( a + 2 b + c + d = 0\),
\(B \in P\) donc \(a -6 b -c + d = 0\),
\(C \in P\) donc \(2 a + 2 b + 2 c + d = 0\)
On obtient donc le système :
\(\left\{ \begin{array}{left} -a+c+d=-2b\\ a-c+d=6b\\ a+c+0,5d=-b\\ \end{array}\right. \)
En additionnant les lignes \(L_1\) et \(L_2\) le système devient :
\(\left\{ \begin{array}{left} -a+c+d=-2b\\ 2d=4b\\ a+c+0,5d=-b\\ \end{array}\right. \)
Soit en remplaçant dans le système :
\(\left\{ \begin{array}{left} -a+c+d=-2b\\ d=2b\\ a+c+b=-b\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{left} -a+c = -4b\\ d = 2b\\ a+c = -2b\\ \end{array}\right. \)
En additionnant les lignes \(L_1\) et \(L_3\), le système devient :
\(\left\{ \begin{array}{left} a+c = -2b\\ d = 2b\\ 2c = -6b\\ \end{array}\right. \)
Donc \(d = 2 b\) ; \(c = 3 b\) et en remplaçant \(a - 3 b = 2 b\) et finalement : \(a = b\)
Le plan a donc pour équation : \(b x + b y - 3 b z + 2 b = 0\)
Soit :\(b (x + y -3 z + 2) = 0\). La nullité de \(b\) entrainerait celle des autres coefficients ce qui n'est pas possible.
On a finalement : \(x + y -3 z + 2 = 0\)
On cherche une équation de la forme : \(ax+by+cz+d = 0\).
Le point \(A\) appartient au plan \(P\) donc ses coordonnées vérifient l’équation du plan.
\(B\) et \(C\) vérifient la même condition. On résout donc un système.
Question 2
\(Q\) est le plan d'équation \(x + y - 3 z + 2 = 0\) et
\(Q'\) le plan formé par le repère \((O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k})\).
Pourquoi \(Q\) et \(Q'\) sont-ils sécants ?
\(Q\) est le plan d'équation \(x + y - 3 z + 2 = 0\) donc d'après le cours, un vecteur normal à \(Q\) est \(\overrightarrow{n} (1 ; 1 ; -3)\).
$Q'$ a pour équation $y=0$ donc un vecteur normal à \(Q'\) est \(\overrightarrow{j} (0 ; 1 ; 0)\)
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc \(Q\) et \(Q'\) ne sont pas parallèles et sont donc sécants.
Avez-vous fait une figure ? Tracez deux plans dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Comment sont les plans ? Sécants bien sûr !
Pour vous en convaincre, vous pouvez observer le phénomène contraire : si deux plans sont parallèles, les vecteurs normaux sont parallèles (et réciproquement).
Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Question 3
Déterminer un point \(E\) et un vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) de la droite \(Delta\) intersection des plans \(Q\) et \(Q'\).
Soit \(E\) le point de \(Q \cap Q'\) d'abscisse \(x=0\) par exemple.
\(E \in Q\) donc \(y -3 z + 2 = 0\) et \(3 z = y + 2\)
\(E \in Q'\) donc \(y = 0\) et \(E\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)\).
Cherchons les coordonnées d'un autre point d'intersection des deux plans. Notons\(F\) le point de \(Q \cap Q'\) de côte \(z= 0\) par exemple.
\(F \in Q\) donc \(x + y + 2 = 0\) et \(x = -y -2\).
\(F \in Q'\) donc \(y = 0\) et \(F(-2;0;0)\).
Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\overrightarrow{FE}\left( 2 ; 0 ;\dfrac{2}{3}\right)\) donc un vecteur directeur de \(\Delta\) est par exemple :
\(\overrightarrow{u} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{FE}\).
\(\overrightarrow{u}(3 ; 0 ; 1)\) est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
Cherchez un point \(E\) appartenant simultanément à \(Q\) et \(Q’\). Pour cela, vous pouvez fixer \(x=0\) et chercher les valeurs de \(y\) et \(z\) qui vérifient les deux équations des deux plans.
Cherchez un deuxième point \(F\) en fixant par exemple \(z=0\). (Vous pouvez fixer la valeur que vous souhaitez). Trouvez ainsi les coordonnées de \(F\).
Connaissant deux points distincts de l’intersection des deux plans, vous pouvez trouver les coordonnées du vecteur directeur de la droite \(\Delta\).
Il s’agit du vecteur \(\overrightarrow{EF}\) bien entendu.
Question 4
Écrire une équation cartésienne de la sphère \(S\) de centre \(L(0 ; 1 ; -3)\) et de rayon 5.
Par défintion,\(S\) est l'ensemble des points \(M\) de l'espace tel que \(LM = 5\)
On élève au carré cette égalité :
\(LM^2 = 25\)
\( \Leftrightarrow (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 =25\)
\(\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 2 y + 6 z -15 = 0\)
Savez-vous ce qu’est une sphère de l’espace ?
Dans notre cas, c’est l’ensemble des points \(M\) de l’espace vérifiant \(LM=5\).
Question 5
On considère le point \(J\) de coordonnées \((0 ; 1 ; 0)\) .
Déterminer avec soin l'intersection, si elle existe, de la sphère \(S\) et de la droite \((OJ)\).
\((OJ)\) est l'ensemble des points \(M\) de l'espace tels que \(\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OJ}\;,\; k \in \mathbb{R}\)
Or, \(\overrightarrow{OJ}(0 ; 1 ; 0)\) donc \(M\) a pour coordonnées \(\left\{ \begin{array}{left} x = 0\\ y=k\\ z = 0\\ \end{array}\right. \) avec \(k \in \mathbb{R}\).
D'autre part,
\(M \in S\) donc : \(x^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 25\)
\(M \in (OJ)\cap S\) donc : \((0)^2 + (k-1)^2 + (3)^2 = 25\)
Soit finalement : \((k-1)^2 =16\)
Les solutions de ce trinôme sont : \(k = 3\) et \(k =5\)
Les points d'intersection de \(S\) et de \((OJ)\) sont donc les points :
\(M_{3} (0 ; -3 ; 0)\) obtenu pour \(k = -3\) et
\(M_{5} (0 ; 5 ; 0)\) obtenu pour \(k = 5\).
Sur un brouillon, commencez à réfléchir aux positions relatives d’une droite et d’une sphère.
La droite est soit extérieure, soit tangente, soit sécante à la sphère.
Il y a donc aucun, un ou deux points d’intersection.
Cherchez un système d’équations paramétriques de \((OJ)\).
Un point de la droite appartient à la sphère s’il vérifie l’équation de la sphère. Remplacez donc les coordonnées sous forme paramétrique dans l’équation de la sphère.
En fonction du nombre de solutions de cette équation, concluez.