L'énoncé
On lance un dé parfaitement équilibré. On note la face obtenue. On appelle :
$A$ l'événement « le résultat est pair »,
$B$ l'événement « le résultat est supérieur ou égal à 4 » et
$C$ l'événement « le résultat est inférieur à 3 ».
Question 1
$A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
On a : $A = \{2 ; 4 ; 6\} , B = \{4 ; 5 ; 6 \}$ et et donc $A\cap B=\{4;6\}$
Ainsi : $p(A) =\dfrac{1}{2}$ ; $p(B)=\dfrac{1}{2}$ et $p(A\cap B)=\dfrac{1}{3}$
On a :
$p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
$p(A\cap B)\neq p(A)\times p(B)$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
On rappelle que deux événements sont indépendants lorsque $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
Question 2
$A$ et $C$ sont-ils indépendants ?
$C = \{1 ; 2\}$ et $p(C)=\dfrac{1}{3}$
De plus, $A\cap C=\{2\}$ donc $p(A\cap C)=\dfrac{1}{6}$
On a :
$p(A)\times p(C)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
$p(A\cap C)= p(A)\times p(C)$ donc $A$ et $C$ sont indépendants.
Déterminer l'événement $A\cap C$ pour commencer.