L'énoncé
Prérequis : on rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si, et seulement si, $p (A ∩ B) = p(A) × p(B)$.
Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire.
Question 1
Démontrer que $p(B) = p(B ∩ A) + p(B ∩\overline{A})$.
Les événements $B ∩ A$ et $B ∩ \overline{A}$ constituent une partition de l’événement $B$. La formule des probabilités totales fournit alors :
Démontrer que $p(B) = p(B ∩ A) + p(B ∩\overline{A})$.
Il faut juste utiliser la formule des probabilités totales.
Question 2
Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également.
On suppose maintenant les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
On a :
$p(B ∩\overline{A}) = p(B) − p(B ∩ A)$ (d'après la question précédente)
$p(B ∩\overline{A})= p(B) − p(B) × p(A)$ (car les événements $A$ et $B$ sont indépendants)
$p(B ∩\overline{A})= p(B)(1 − p(A)) $ (on factorise et on reconnait la probabilité de l'événement contraire de $A$)
$p(B ∩\overline{A})= p(B) × p(\overline{A})$.
Ceci montre que les événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
On pourrait montrer que $p(B ∩\overline{A})= p(B) × p(\overline{A})$.