Fiche de cours
Indépendance et évènement contraire
Théorème :
Soient $A$ et $B$ deux évènement indépendants de $\Omega$,
Alors $\overline{A}$ est indépendant de $B$.
(De même, $\overline{A}$ est indépendant de $\overline{B}$ et $A$ est indépendant de $\overline{B}$)
La démonstration est à connaitre.
Démonstration :
Soient $A$ et $B$ deux évènement indépendants de $\Omega$,
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$.
En effet, $A \cup \overline{A} = \Omega$ et $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints (ils n'ont pas de partie commune).
Ainsi, $B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A})$ d'après la formule des probabilités totales.
En outre, $(B \cap A)$ et $(B \cap \overline{A})$ sont incompatibles (l'intersection des deux évènement est nulle).
Donc $p(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A})$.
Ainsi, $p(B \cap \overline{A}) =P(B) - P(B \cap A) $.
Or $A$ et $B$ sont deux évènement indépendants de $\Omega$, c'est à dire $ P(B \cap A) = P(B) \times P(A)$.
Ainsi, $P(B \cap \overline{A}) =P(B) - P(B \cap A) = P(B) - P(B) \times P(A) = P(B)(1-P(A))$.
Or par définition, $(1-P(A)) = P(\overline{