L'énoncé
Rappel : forme vectorielle du « théorème de la médiane ».
Soit $C$ et $D$ deux points de l'espace et $I$ le milieu de $[CD]$.
Quel que soit le point $M$ de l'espace, avec la médiane $MI$ du triangle $MCD$ on peut écrire :
$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} = 2 \overrightarrow{MI}$
et $MC^2 - MD^2 = 2 \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{DC}$
Question 1
Démontrer ce résultat.
On a $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} = ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})+( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID})= 2 \overrightarrow{MI}$
et $MC^2 - MD^2 = (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}) . (\overrightarrow{MC} -\overrightarrow{MD})$
$=2 \overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{DM}+ \overrightarrow{MC})=2 \overrightarrow{MI}. \overrightarrow{DC}$