L'énoncé
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Question 1
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ se note :
$\vec{u}\times \vec{v}$
$\vec{u}\cdot \vec{v}$
$\vec{u}+\vec{v}$
Question 2
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :
$\vec{u}\cdot \vec{v}=1$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=-1$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$
C'est une propriété du cours
Question 3
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs et $k$ un réel. On a :
$k(\vec{u}+ \vec{v})=k\vec{u}+ k\vec{v}$
On distribue le réel $k$.
$\vec{u}(k+ \vec{v})=k\vec{u}+ \vec{u}\cdot\vec{v}$
$\vec{u}(k+ \vec{v})=k\vec{u}+ \vec{u}\times \vec{v}$
Question 4
Soient $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$ deux vecteurs de l'espace muni d'un repère.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=xx'+yy'+zz'$
C'est une propriété du cours.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=xx'-yy'-zz'$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=xx'\times yy'\times zz'$
Question 5
Soient $\vec{u}(4;0;1)$ et $\vec{v}(-1;4;0)$ deux vecteurs de l'espace muni d'un repère.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=-4$
$-4+0+0=-4$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=4$
Question 6
Soient $\vec{u}(4;-1;1)$ et $\vec{v}(-1;-4;0)$ deux vecteurs de l'espace muni d'un repère.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=4$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=4$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=-4$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$
En effet $-4+4+0=0$
Question 7
$\vec{u}(4;-1;1)$ et $\vec{v}(-1;-4;0)$ sont :
Colinéaires
Orthogonaux
En effet leur produit scalaire est nul.
Opposés
Question 8
Quelle est la bonne formule ?
$\vec{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\right)$
C'est une propriété du cours.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}+\vec{v}||^2+||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2\right)$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}\times \vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\right)$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}+\vec{v}||^2\times ||\vec{u}||^2\times ||\vec{v}||^2\right)$
Question 9
Quelle est la bonne formule ?
$\vec{u}\cdot \vec{u}=u^2$
$\vec{u}\cdot \vec{u}=\vec{u}^2$
C'est la notation utilisée.
$\vec{u}\cdot \vec{u}=|u|^2$
Ne pas confondre norme et valeur absolue.
Question 10
Soient $\vec{u}(4;-1;1)$ et $\vec{v}(-1;-2;2)$ deux vecteurs de l'espace muni d'un repère.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ et les vecteurs sont colinéaires.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ et les vecteurs sont orthogonaux.
On peut vérifier que $-4+2+2=0$.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=8$
$\vec{u}\cdot \vec{v}=-8$
C'est une notation à connaître.