L'énoncé
Soit $ABCD$ un tétraèdre et $I, J, K$ et $L$ les milieux de $[BC], [BD], [CA]$ et $[DA]$.
Question 1
Exprimer $\overrightarrow{LI}$ et $\overrightarrow{KJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{LI} = \overrightarrow{LK} +\overrightarrow{KI}$. Ensuite, on utilise le théorème des milieux (« Dans un triangle, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés du triangle alors il mesure la moitié du troisième ») et on obtient
$\overrightarrow{LI} = \dfrac{1}{2}(-\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{AB})$.
Idem pour $\overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{KL} +\overrightarrow{LJ} =\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{AB})$
Décomposer $\overrightarrow{LI}$ en une somme de deux vecteurs et utiliser le théorème des milieux.
De même avec $\overrightarrow{KJ}$.
Question 2
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{LI} . \overrightarrow{KJ}$.
On a :
$\overrightarrow{LI} . \overrightarrow{KJ} = (\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})). (\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}))$
$\overrightarrow{LI} . \overrightarrow{KJ} = (\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{CD}). (\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{CD})$
$\overrightarrow{LI} . \overrightarrow{KJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}. \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{LI} . \overrightarrow{KJ} =\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CD})$
$\overrightarrow{LI} . \overrightarrow{KJ} =\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CD})+ AB^2-CD^2)= \dfrac{1}{4}(AB^2-CD^2)$
Question 3
Montrer que les droites $(LI)$ et $(KJ)$ sont orthogonales si et seulement si :
$AB = CD$.
$(LI)$ et $(KJ)$ sont orthogonales si et seulement si $\overrightarrow{LI}.\overrightarrow{KJ}= 0$.
On a $\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{CD}^2)=0$ si et seulement si $AB^2-CD^2=0$ si et seulement si $AB^2=CD^2$ si et seulement si $AB=CD$.