Fiche de cours
Produit scalaire, norme et distance
Définition :
Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un réel noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ vérifiant $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \|u\|\times\|v\|\times \cos(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls (si l'un des vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut 0).
On en déduit alors que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} = \|u\|^2$
Formules de polarisation :
Ces formules permettent de calculer les produits scalaires sans utiliser le cosinus.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( \|u+v\|^2 -\|u\|^2 - \|v\|^2 \right )$
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|v-u\|^2 \right )$
Preuve :
$\begin{align}
\|u+v\|^2 &= (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \\
&= \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}.\overrightarrow{v} \\
&= \|\overrightarrow{u}\|^2+ 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 \end{align}$
On obtient enfin la formule