L'énoncé
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Question 1
Soit \(f\) la fonction définie sur \( \mathbb{R} -\{1\}\) par : \( f(x) = \dfrac{2x^2+2}{x-1}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)= +\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)= +\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty\)
C'est la limite du rapport des termes de plus haut degré
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty\)
Connaissez-vous la propriété permettant de déterminer la limite d’une fonction rationnelle en l’infini ?
Il faut l’apprendre : une fonction rationnelle a même limite en l’infini que le quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2}{x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 3x\)
Question 2
Soit \(g\) la fonction définie sur \( \mathbb{R}\) par : \(g(x) = x^2 - 2x + 5\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty\)
Une fonction polynôme a même limite en l’infini que son terme de plus haut degré.
\(\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)= -\infty\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= 5\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= 0\)
Connaissez-vous la propriété permettant de déterminer la limite d’un polynôme en l’infini ?
Il faut l’apprendre : une fonction polynôme a même limite en l’infini que son terme de plus haut degré.
Question 3
Soit \(h\) la fonction définie sur $\left[\dfrac{1}{9};+\infty \right[$ par : \( h(x) = \sqrt{9- \dfrac{1}{x}}\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)= +\infty\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)= 0\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)= 3\)
En posant \( X = 9 - \dfrac{1}{x}\), on obtient \( \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = \lim\limits_{X \to 9} \sqrt{X} = 3\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)= \sqrt{8}\)
Savez-vous calculer la limite d’une fonction composée ?
Avez-vous pensé à poser \( X = 9 - \dfrac{1}{x}\) ?
Vers quoi tend \(X\) quand \(x\) tend vers \(+ \infty\) ?
Question 4
Soit \(i\) la fonction définie sur \( \mathbb{R}\) par : \( i(x) = e^x \cos (x)\)
\(\lim\limits_{x \to -\infty} i(x)= 0\)
On sait que pour réel \(x\), \( -1 \leq \cos (x) \leq 1\) En multipliant par \(e^x\) qui est une quantité positive, on a : \(-e^x \leq e^x \cos (x) \leq e^x\) D'après le cours : \(\lim\limits_{x \to -\infty} -e^x =\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0\) La fonction \(i\) est encadrée par deux fonctions qui tendent vers zéro au voisinage de \(-\infty\). Ainsi, d’après le théorème des gendarmes : \(\lim\limits_{x \to -\infty} i(x) = 0\)
\(\lim\limits_{x \to -\infty} i(x)= + \infty\)
\(\lim\limits_{x \to -\infty} i(x)= - \infty\)
\(\lim\limits_{x \to -\infty} i(x)\) n'existe pas.
Avez-vous pensé à utiliser un encadrement ?
\( -1 \leq \cos (x) \leq 1\)
On utilise ensuite un théorème très utile : le théorème des gendarmes ! Besoin d’un rappel ? Vas voir la vidéo dans les prérequis.
Question 5
Soit \(j\) la fonction définie sur \(]0 , \pi]\) par : \( j(x) = x\sin \left(\dfrac{1}{x}\right)\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} j(x)= 0\)
On a : \( 0 \leq\sin \left(\dfrac{1}{x}\right) \leq 1\)
Comme \(x\) est un nombre strictement posistif, il vient :
\( 0\leq \sin \left(\dfrac{1}{x}\right) \leq x\)
Or : \(\lim\limits_{x \to 0^+} x = 0\)
Donc , d'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{x \to 0^+} j(x)= 0\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} j(x)= - \infty\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} j(x)= + \infty\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} j(x)\) n'existe pas
Avez-vous pensé à utiliser un encadrement ?
\( 0 \leq\sin \left(\dfrac{1}{x}\right)\leq 1\)
Connaissez-vous le théorème des gendarmes ? La vidéo de rappel est à voir dans les prérequis.
Le numérateur tend vers 4 et le dénominateur tend vers zéro par valeur supérieure. Par passage au quotient, la limite de \(f(x)\) vaut\(+\infty\)