L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Rédiger totalement la question pour pouvoir répondre.
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Question 1
Parmi les propositions suivantes, choisir en justifiant la ou les bonne(s) réponse(s):
Si \(\pi \leq x \leq \dfrac{5\pi}{4}\) , alors on a :
\(\cos(x) \geq 0\)
\(\cos(x) \leq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin(x) \leq -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin(x) \leq 0\)
Un schéma est indispensable ici !!! Tracer le cercle et placer \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{5\pi}{4}\).
Pour bien placer \(\dfrac{5\pi}{4}\), il faut avoir repéré que \(\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{4\pi + \pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}\).
Si vous avez du mal à faire la lecture graphique, il faut passer en couleur l’arc de cercle situé entre \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{5\pi}{4}\) pour un meilleur aperçu graphique.
On commence par remarquer que : \(\cos(\dfrac{5\pi}{4}) = \cos(\dfrac{\pi}{4}+\pi) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Ensuite on trace le cercle trigonométrique, et on lit que :
- si \(\pi < x < \dfrac{5\pi}{4}\) alors : \(-1 < \cos(x) < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). La proposition B est donc VRAIE.
- on a également alors : \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} < \sin(x) < 0\). La proposition D est donc VRAIE.
Ce type de lecture est un peu plus difficile que pour une équation trigonométrique, mais il faut cependant la maîtriser : pensez à utiliser de la couleur pour bien visualiser les zones du cercle qui sont concernées.
Question 2
Le réel \(\dfrac{20\pi}{3}\) est solution de l'équation :
\(2\cos(x) = \sqrt{3}\)
\(2\sin(x) = \sqrt{3}\)
\(2\cos(x) = -1\)
\(2\cos(x) = 1\)
On a besoin de calculer le cosinus et le sinus de \(\dfrac{20\pi}{3}\) : à vous de jouer sur l’écriture de \(\dfrac{20\pi}{3}\)
On écrit que \(\dfrac{20\pi}{3} = \dfrac{18\pi + 2 \pi}{3}\)
On simplifie, et on pense aux formules sur le cosinus ou sinus des angles associés, l’une d’entre elles s’applique aisément ici !
Il faut maintenant trouver \(\cos(\frac{2\pi}{3})\)
On sait que \(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\) et \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) : à appliquer ici !
Remarquons que : \(\dfrac{20\pi}{3} = \dfrac{18\pi + 2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} + 6\pi\)
On a donc : \(\cos(\frac{20\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} \) ainsi : \(2\cos(\frac{20\pi}{3}) = -1\).
Donc la proposition C est donc VRAIE.
De même, on a : \(sin(\frac{20\pi}{3}) = sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\sqrt{3}}{2})\) d’où \(2sin(\frac{20\pi}{3}) = \sqrt{3}\).
Donc la proposition B est donc VRAIE.
On retombe sur des calculs classiques de cosinus et sinus : pas de problème si vous connaissez bien tes valeurs usuelles !