Fiche de cours
Résolutions d'équations et inéquations avec la fonction $\ln$
Liens avec la fonction exponentielle :
Pour tout réel $x$, $\ln (e^x)=x$.
Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln x}=x$.
Equations
Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,
$\displaystyle \ln x=\ln y \iff x=y$.
Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,
$\displaystyle \ln x=a\iff x=e^a$.
Inéquations
Pour tous réels $x>0$ et $y>0$,
$\displaystyle \ln x<\ln y \iff x < y$.
Pour tout réel $x>0$ et tout réel $a$,
$\displaystyle \ln x<a\iff x<e^a$.
Exemple
Résoudre $\displaystyle 3\ln (x+1)-3=0$ en précisant l'ensemble d'étude.
étape 1 :
On n'oublie pas de préciser l'ensemble de définition sur lequel on travaille.
$x$ doit vérifier : $x+1>0$ soit : $x>-1$.
On cherche donc des solutions sur $]-1;+\infty[$.
étape 2 :
On se ramène à une écriture du type : $\ln x=\ln y$ en utilisant $\ln e=1$.
$\displaystyle 3\ln (x+1)=3$
$\displaystyle \ln (x+1)=1$
$\displaystyle \ln (x+1)= \ln e$
&eacu