1
Video
Théorème des croissances comparées
2
Exercice
QCM - Fonction ln : croissances comparées
3
Video
Fonction Ln, théorème des croissances comparées. Démonstration
4
Video
Théorème des croissances comparées - Ln - Exercice 1
5
Exercice
Vrai / Faux - Fonction logarithme népérien
6
Video
Théorème des croissances comparées - Ln - Exercice 2
7
Video
Théorème des croissances comparées - Ln - Exercice 3
8
Exercice
Exercice - Étude de fonction
L'énoncé
Les assertions proposées sont vraies ou fausses. Justifiez vos réponses.
Soit \(f\) la fonction définie par : \[f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{\ln(\sqrt{x})}\] \(D\) son ensemble de définition et \(C\) sa courbe représentative.
Soit \(f\) la fonction définie par : \[f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{\ln(\sqrt{x})}\] \(D\) son ensemble de définition et \(C\) sa courbe représentative.
Question 1
On a \[D = ]0, +\infty[\]
Faux : On doit avoir \(\sqrt{x} \neq 1\) et x>0 donc \[D= ]0 , 1[ \cup ]1 , +\infty[\]
Besoin d’un rappel sur les ensembles de définitions ? C'est dans votre cours de 1ère.
Quelles valeurs ne peut pas prendre \(x\) dans cette fonction ?
Rappelez-vous de l’ensemble de définition de la fonction \(\ln\), de la fonction racine carrée, et de la fonction \(\frac{1}{x}\).
Quelles valeurs ne peut pas prendre \(x\) dans cette fonction ?
Rappelez-vous de l’ensemble de définition de la fonction \(\ln\), de la fonction racine carrée, et de la fonction \(\frac{1}{x}\).
Question 2
Pour tout \(x \in\) D, on a : \[f(x) < \frac{x}{2}\]
Faux :
\[f(x) < \frac{x}{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{ln(\sqrt{x})} < 0\] \[\Leftrightarrow ln(\sqrt{x}) > 0 \] la fonction \(ln\) est stricetement croissante sur son ensemble de définition , on a : \[\Leftrightarrow \sqrt{x} > 1 \Leftrightarrow x > 1\] Cela ne représente pas la totalité de l'ensemble de définition.
\[f(x) < \frac{x}{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{ln(\sqrt{x})} < 0\] \[\Leftrightarrow ln(\sqrt{x}) > 0 \] la fonction \(ln\) est stricetement croissante sur son ensemble de définition , on a : \[\Leftrightarrow \sqrt{x} > 1 \Leftrightarrow x > 1\] Cela ne représente pas la totalité de l'ensemble de définition.
Etudier le signe de \(f(x)-\frac{x}{2}\).
Si \(f(x)-\frac{x}{2} <0 \) alors \(f(x)<\frac{x}{2}\). Est-ce le cas ici ? Sur tout l’ensemble de définition ?
\(f(x)-\frac{x}{2} <0 \Leftrightarrow -\frac{1}{\ln \, (\sqrt{x})}<0\). Est-ce le cas ici ? Sur tout l’ensemble de définition ?
\(-\frac{1}{\ln \, (\sqrt{x})}<0 \Leftrightarrow \ln \, (\sqrt{x})>0 \). Est-ce le cas ici ? Sur tout l’ensemble de définition ?
Si \(f(x)-\frac{x}{2} <0 \) alors \(f(x)<\frac{x}{2}\). Est-ce le cas ici ? Sur tout l’ensemble de définition ?
\(f(x)-\frac{x}{2} <0 \Leftrightarrow -\frac{1}{\ln \, (\sqrt{x})}<0\). Est-ce le cas ici ? Sur tout l’ensemble de définition ?
\(-\frac{1}{\ln \, (\sqrt{x})}<0 \Leftrightarrow \ln \, (\sqrt{x})>0 \). Est-ce le cas ici ? Sur tout l’ensemble de définition ?
Question 3
Pour tout \(x \in D\), on a : \[f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{x(\ln \, x)^2}\]
Vrai :
Rappelons que \((\frac{1}{u})' = - \frac{u'}{u^2}\) et remarquons que \( f(x) = \frac{x}{2} - \frac{2}{ln(x)}\) .
Nous avons donc : \[f'(x) = \frac{1}{2} - 2 \left( - \frac{1/x}{(ln x)^2}\right) \] \[f'(x)= \frac{1}{2} + 2 \left( \frac{1}{x(ln x)^2}\right)\] \[f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{x(\ln \, x)^2}\]
Rappelons que \((\frac{1}{u})' = - \frac{u'}{u^2}\) et remarquons que \( f(x) = \frac{x}{2} - \frac{2}{ln(x)}\) .
Nous avons donc : \[f'(x) = \frac{1}{2} - 2 \left( - \frac{1/x}{(ln x)^2}\right) \] \[f'(x)= \frac{1}{2} + 2 \left( \frac{1}{x(ln x)^2}\right)\] \[f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{x(\ln \, x)^2}\]
Besoin d’un rappel sur les dérivées ? Vois la vidéo de rappel dans les pré-requis.
\(\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}\)
Sur \(D\), \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
Sur \(D\), \(\ln \, x^n=n \times \ln \, x\)
\(\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}\)
Sur \(D\), \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
Sur \(D\), \(\ln \, x^n=n \times \ln \, x\)