Fiche de cours
Théoréme des croissances comparées
Pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ :
1. $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x \ln x = 0$ et $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x^n \ln x = 0.$
2. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0.$
Exemple
Calculer $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x$.
étape 1 : On repére une forme indéterminée du type $\infty-\infty$ et on factorise par $x^3$.
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x=\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3}) $
étape 2 : On utilise le théoréme des croissances comparées pour lever l'indétermination.
On sait que: $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^3}= 0$.
Ainsi, le terme dans la parenthése tend vers $1$ et par produit de limites, on obtient :
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3})=+\infty$
Nombre dérivé en 1
A savoir : $\displaystyle\lim_