L'énoncé
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Question 1
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $]a;b[$ et $x_0$ un réel de cet intervalle. $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$ lorsque :
$f'$ s'annule en $x_0$ et change de signe.
$f''$ s'annule en $x_0$ et change de signe.
$f$ s'annule en $x_0$ et change de signe.
Question 2
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $]a;b[$. $f$ admet un point d'inflexion en lorsque :
La tangente en ce point est horizontale.
La tangente en ce point est verticale.
La tangente en ce point traverse la courbe.
C'est une définition.
Question 3
La fonction $f(x)=e^x$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.
Non
Sa dérivée seconde ne s'annule pas.
En effet, $f''(x)= e^x>0$.
Oui
Non, elle admet plusieurs points d'inflexion.
Question 4
La fonction $f(x)=x^3$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.
Oui
Pour tout réel, $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=6x$
La dérivée seconde s'annule et change de signe en $0$ donc la fonction admet un point d'inflexion.
Non
Non, elle admet deux points d'inflexion.
Question 5
La fonction $f(x)=x^4$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.
Oui
Non, elle admet trois points d'inflexion.
Non
Pour tout réel, $f'(x)=4x^3$ et $f''(x)=12x^2$
La dérivée seconde s'annule en $0$ mais ne change pas de signe donc la fonction n'admet aucun point d'inflexion.
Question 6
La fonction $f(x)=x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.
Non
Pour tout réel, $f'(x)=2x$ et $f''(x)=0$
La dérivée seconde est toujours nulle donc ne change pas de signe et la fonction n'admet aucun point d'inflexion.
Oui
Non, elle en admet deux.
Question 7
La fonction $f(x)=\ln x$ définie sur $\mathbb{R^{+*}}$ admet un point d'inflexion.
Non, elle admet plusieurs points d'inflexion.
Oui
Non
Pour tout réel strictement positif, $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
La dérivée seconde est toujours négative et ne s'annule pas. La fonction n'admet aucun point d'inflexion.
Question 8
La fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R^{+*}}$ admet un point d'inflexion.
Oui
Non
Pour tout réel strictement positif, $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ et $f''(x)=\dfrac{2x}{x^4}=\dfrac{2}{x^3}$
La dérivée seconde est toujours positive et ne s'annule pas car $x>0$. La fonction n'admet aucun point d'inflexion.
Non, elle admet deux points d'inflexion.
Question 9
La fonction $f(x)=x^5+x^3$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.
Non
Non, elle admet deux points d'inflexion.
Oui
Pour tout réel, $f'(x)=5x^4+3x^2$ et $f''(x)=20x^3+6x=x(20x^2+6)$
La dérivée seconde s'annule en $0$ et change de signe donc la fonction admet un point d'inflexion en $0$.
Question 10
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $]a;b[$ et $x_0$ un réel de cet intervalle. $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$ lorsque :
$f'$ s'annule en $x_0$ et change de signe.
$f$ s'annule en $x_0$ et change de signe.
$f''$ s'annule en $x_0$ et change de signe.
C'est une propriété.
C'est une propriété du cours.