L'énoncé
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Question 1
On définit la suite suivante :
$ u_0 = 1 $
$ \forall \; n \in \mathbb{N^*}, \; u_{n} = 1 + (-1)^n $
Et la fonction suivante : $ \forall \; x \in \mathbb{R}, \; f(x) = 3x+7 $
Que peut-on dire de la limite de $ f(u_n) $ ?
$ f(u_n) $ converge vers $ 10 $ quand $ n \rightarrow \infty $
$ f(u_n) $ converge vers $ 4 $ quand $ n \rightarrow \infty $
Aucune des deux propositions du dessus.
Question 2
On définit une nouvelle suite :
$ v_0 = 1 $
$ \forall \; n \in \mathbb{N^*}, \; v_{n+1} = \frac{3}{5}v_n $
Et on garde la même fonction : $ \forall \; x \in \mathbb{R}, \; f(x) = 3x+7 $
Que peut-on dire de $ f(v_n) $ ?
$ f(v_n) $ converge vers $+ \infty $ quand $ n \rightarrow \infty $
$ f(v_n) $ converge vers $7$ quand $ n \rightarrow \infty $
La suite $v_n$ est géométrique de raison $-1<\frac{3}{5}<1$ donc elle converge vers $0$.
Ainsi, $f(v_n)$ converge vers $f(0)=7$ puisque $f$ est continue en zéro.
On ne peut rien dire sur le comportement de $ f(v_n) $
Calculer les premiers termes de la suite.
Question 3
Dans quel(s) cas une suite géométrique va-t-elle converger ?
Si le premier terme de la suite est nul.
Si le premier terme est nul, alors la suite reste de valeur constante nulle : elle est convergente.
Si le premier terme de la suite est égal à 1.
Si le premier terme est égal à 1, rien n'empêche les termes suivants de croître vers l'infini (par exemple avec une raison égale à 2).
Si la raison est nulle.
Si la raison est nulle, alors la suite est constante de valeur nulle à partir du 2e terme : elle est convergente.
Si la raison est égale à 1.
Si la raison est égale à 1, la suite est constante de valeur du premier terme : elle est convergente.
Si la raison est comprise dans $ ]-1;1[ $.
Si la raison $ q $ est $ < 1 $, alors $ q^n \rightarrow +\infty $ quand $ n \rightarrow +\infty $ et donc la suite converge vers 0.
Question 4
On définit la suite suivante : $ \forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_{n} = \frac{1}{n+1} + 1 $
Et la fonction suivante : $ \forall \; x \in \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}, \; f(x) = \frac{1}{x-1} $
On remarque que $ (u_n) $ converge vers $ l = 1 $.
Que peut-on dire de $ f(u_n) $ ?
$ f(u_n) \rightarrow f(l) $
On ne peut pas conclure sur la limite de $f(u_n)$.
L'hypothèse de continuité de $f$ en $l=1$ n'est pas vérifiée, on ne peut pas utiliser le résultat.
Faire attention aux hypothèses du théorème de la vidéo.
Question 5
Soit $ (u_n) $ une suite définie par récurrence telle que $ u_0 = 1 $ et $ \forall \; n \in \mathbb{N*}, \; u_{n+1} = f(u_n) $,
Avec $ f $ une fonction définie telle que $ \forall \; x \in \mathbb{R*}, \; f(x) = 1 + \frac{1}{x} $.
On admet que $u_n$ converge vers un réel $l$ non nul.
Trouver si elle existe la limite de $f(u_n)$ (une valeur approchée suffira).
0
1
0,426
1.618
$ \forall \; x \in \mathbb{R*}, \; f(x) = 1 + \frac{1}{x} $ est continue sur son ensemble de définition et comme $u_n$ converge alors :
$f(u_n)$ converge vers un réel $l$ vérifiant $f(l)=l$
Ou encore $1+\frac{1}{l}=l$
On réduit au même dénominateur et on multiplie par $l$ qui est non nul :
$l^2-l-1=0$
$\Delta=5$
La valeur exacte positive de cette équation est $l=\frac{1+\sqrt5}{2}$
$l\approx 1,618$
Résoudre $f(l)=l$.
Le théorème utilisé mentionne une suite convergente.
Ici, $ (u_n) $ ne converge pas, mais diverge car elle vaut successivement $0$ ou $2$ selon la parité de $n$.
On ne peut donc pas obtenir de résultat pour $ f(u_n) $.