Fiche de cours
Image d'une suite convergente par une fonction continue
Théorème :
Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans un intervalle $[a,b]$ et $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$.
Si $(u_n)$ converge vers $l\in[a,b]$ alors la suite de terme général $f(u_n)$ converge vers $f(l)$.
Si $u_n \rightarrow l$ alors
$f(u_n) \rightarrow f(l)$, $f$ étant continue en $l$.
Rappel : théorème du point fixe
Soit $(u_n)$ une suite définie par récurrence
$\forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1}=f(u_n)$, $f$ continue sur $\mathbb{R}$
Si $(u_n)$ converge vers $l$, alors $l$ est un point fixe de $f$ et vérifie
$f(l)=l$.
Application
$u_0=1, \forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n}) \; (a>0, \; a \neq 1)$
Montrons que $(u_n)$ converge vers $\sqrt{a}$.
On commence par démontrer par récurrence que $\forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_n > \sqrt{a}$ :
Initialisation on pose $n=0$
$u_1=\dfrac{1}{2}(1+a)$ mais
$(1-\sqrt{a})^2=1-2\sqrt{a}+a>0$ donc
$u_1=\dfrac{1+a}{2}>\sqrt{a}$
Hérédit&e