L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
La suite $(u_n)$ définie comme telle semble-t-elle converger ?
$u_0 = 1$
$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \ln(1+u_n)$
On pourra calculer les premiers termes de la suite à l'aide d'une calculatrice.
Oui
Non
Question 2
La suite définie par $\forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_n = |\frac{(-1)^n}{n+1}|$ est :
Décroissante
Croissante
Convergente
Divergente
Question 3
Dans quel(s) cas une suite croissante converge-t-elle ?
Si elle est majorée.
Si elle est minorée.
Si elle est bornée.
Question 4
La suite $(\sin(n))$ converge-t-elle ?
Oui
Non
La suite est $2\pi$ période puisque la fonction sinus l'est aussi.
Si $n=\dfrac{\pi}{2} +2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ alors $sin(n)=1$
Si $n=\dfrac{-\pi}{2} +2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ alors $sin(n)=-1$
Question 5
La suite $((-1)^n\sin(\pi n))$ converge-t-elle ?
Oui
La suite est constante de valeur 0.
Non
Question 6
Dans quel(s) cas la fonction $f$ qui à $x$ associe $ax^2+bx+c$ possède-t-elle des points fixes ?
$a=3; \; b=5; \; c=2$
$a=3; \; b=5; \; c=1$
On étudie l'équation $f(x)=x$ sur $\mathbb{R}$
L'équation $f(x)=x$ se transforme en $ax^2+(b-1)x+c=0$
$\Delta = (5-1)^2-4\times 3=4$
Dans ce cas, le discriminant est strictement positif et il y a deux points fixes.
$a=-2; \; b=-3.5; \; c=5$
Dans ce cas, le discriminant est aussi strictement positif.
Étudier l'équation $f(x)=x$ sur $\mathbb{R}$
Question 7
Soit $(u_n)$ telle que $\forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_n = 1 + \frac{1}{n+1}$
La suite converge-t-elle ?
Oui
La suite tend vers $1$
Non
Question 8
La suite définie par $\forall \; n \in \mathbb{N}, \; u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ est :
Croissante
Décroissante
Convergente
On le montre avec le théorème des gendarmes.
$\frac{-1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}$
La suite converge donc vers $0$.
Divergente
Une suite bornée est par définition majorée.