L'énoncé
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Question 1
Développez en détaillant les calculs : \(A(x) = -\dfrac{1}{4}(x-2)^2+9\)
La première étape du calcul est :
\(-\dfrac{1}{4} \times (x^2-4)+9\)
\(-\dfrac{1}{4} \times (x-2)(x+2)+9\)
\(-\dfrac{1}{4} \times (x^2-4x+4)+9\)
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
Un rappel sur les égalités remarquables ? Allez voir la vidéo dans les prérequis.
Question 2
\(A(x) =-\dfrac{1}{4} \times (x^2-4x+4)+9\)
La seconde étape du calcul est :
\(- \dfrac{1}{4}(3x) +9\)
\(-\dfrac{x^2}{4} -x+4+9\)
\(-\dfrac{x^2}{4} +x -1+9\)
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
C’est un développement tout simple.
Question 3
\(A(x) =-\dfrac{x^2}{4} +x -1+9\)
La dernière étape est :
\(-\dfrac{x^2}{4}+x+8\)
Impossible.
Un langage codé.
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
Vous donner une astuce ici serait un manque de respect de ma part. N’y comptez donc pas…
Question 4
Développez en détaillant les calculs :
\(B(x) = \dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8)\) avec \(x \in [-5 ; 9] \)
La première étape du calcul est :
\(\dfrac{1}{4}(x^2+8x-4x+32)\)
\(\dfrac{1}{4}(-x^2+8x-4x+32)\)
\(\dfrac{1}{4}(x^2+8x+4x+32)\)
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
\((a+b)(c+d) =\) ?
C’est forcément quelque part dans votre mémoire. Si vous ne savez plus, revoyez les fondamentaux sur la vidéo associée.
Question 5
\(B(x) =\dfrac{1}{4}(-x^2+8x-4x+32)\)
La seconde étape est :
\(-\dfrac{x^2}{4} + 4x + 32\)
\(-\dfrac{x^2}{4} - x - 32\)
\(-\dfrac{x^2}{4} + x + 8\)
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
On multiplie tout par \(\dfrac{1}{4}\). D’autre part, \(8x-4x=4x\).
\(\dfrac{1}{4}\) est positif, on ne change pas les signes dans la parenthèse. On a aussi utilisé un truc dingue qui consiste à simplifier les fractions. C’est hyper pointu : exemple \(\dfrac{4}{4}=1\) ou bien \(\dfrac{32}{4} =8\). Demandez à votre petit frère si vous avez un doute. Vous ne m’en voulez pas si je vous taquine un peu… Bon, bonne nouvelle : \(f(x) =B(x) =A(x)\).
Les trois écritures sont égales. On peut utiliser celle qu’on veut quand on veut. La liberté en somme !
Question 6
On sait désormais que pour tout \(x\) de \([-5 ; 9] f(x) = A(x) = B(x)\).
Calculez alors à laide de l'expression appropriée, l'image de 2 ou \(f(2)\) si vous préférez.
\(f(x) = - \dfrac{1}{4}x^2+x+8\).
\(A(x) = -\dfrac{1}{4}(x-2)^2+9\)
\(B(x) = \dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8)\)
Avec l’expression de \(f (x)\) et \(f(2) = 9\).
Avec l’expression de \(A (x)\) et \(f(2) = 9\).
Avec l’expression de \(B (x)\) et \(f(2) = 32\).
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
Regardez bien les trois expressions. Une des trois va vous simplifier la vie. Et on aime tous la vie simple, non ?
Question 7
Calculez maintenant à l'aide de l'expression appropriée, l'image de 0 ou \(f(0)\) si vous préférez.
\(f(x) = - \dfrac{1}{4}x^2+x+8\).
\(A(x) = -\dfrac{1}{4}(x-2)^2+9\)
\(B(x) = \dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8)\)
Avec l’expression de \(B(x)\) et \(f(0) = 8\).
Avec l’expression de \(A(x)\) et \(f(0) = 8\).
Avec l’expression de \(f(x)\) et \(f(0) = 8\).
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
On y arrive avec les trois mais vraiment, il y en a une toute simple. Remplacez juste \(x\) par 0 dans votre tête.
Question 8
On va chercher à présent les antécédents de 0. Pour cela on va résoudre \(f(x) = 0\). Quelle expression allez-vous utiliser ?
\(f(x) = - \dfrac{1}{4}x^2+x+8\).
\(A(x) = -\dfrac{1}{4}(x-2)^2+9\)
\(B(x) = \dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8)\)
Avec l’expression de \(f(x)\) et on obtient \(-\dfrac{1}{4}x^2+x+8 = 0\).
Avec l’expression de \(B(x)\) et on obtient \(\dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8) = 0\).
Avec l’expression de \(A(x)\) et on obtient \(-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+9 = 0\).
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
Savez-vous résoudre les équations du second degré (avec des termes en \(x^2\)) ? La réponse devrait être oui, mais pas dans tous les cas.
Question 9
Résolvons à présent \(\dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8) = 0\)
\(S = [-4 ;8]\)
\(S = \{-4 ;8\}\)
\(x = -4\) ou \(x = -8\)
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
Le coefficient \(\frac{1}{4}\) peut-il s’annuler ? Et bien non ! Seul zéro est un nombre nul. (Je sais que je dis ici une évidence mais je ne l’explique pas pour vous mais pour un autre internaute qui n’a pas compris.)
Question 10
On va maintenant résoudre \(f(x) = 9\). Cela veut donc dire chercher les antécédents de 9. Quelle expression allez-vous utiliser et quel sera l'ensemble des solutions \(S\)?
\(f(x) = - \dfrac{1}{4}x^2+x+8\).
\(A(x) = -\dfrac{1}{4}(x-2)^2+9\)
\(B(x) = \dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8)\)
Avec l’expression de \(f(x)\) et on obtient \(-\dfrac{1}{4}x^2+x+8 =9\). On trouve alors \(S = \{12\}\).
Avec l’expression de \(B(x)\) et on obtient \(\dfrac{1}{4}(x+4)(-x+8) =9\). On trouve alors \(S = \{-2\}\).
Avec l’expression de \(A(x)\) et on obtient \(-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+9 =9\). On trouve alors \(S = \{2\}\).
Aucune des trois réponses précédentes n’est exacte.
Avec le nombre 9 ! Ça saute aux yeux non ?