L'énoncé
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Question 1
Quel est l'ensemble de définition de la fonction cube $f(x)=x^3$ ?
$D_f=\mathbb{R}$
$D_f=\mathbb{R}*$
$D_f=\mathbb{R^+}$
$D_f=\mathbb{R^{*+}}$
Chercher les éventuelles valeurs interdites.
Le cube d'un nombre existe toujours
$D_f=\mathbb{R}$
Question 2
Quels sont les images des nombres $x_1=5$ et $x_2=\dfrac{3}{2}$ par la fonction $f(x)=x^3$
$f(x_1)=125 ,f(x_2)=\dfrac{9}{8}$
$f(x_1)=125 ,f(x_2)=\dfrac{27}{8}$
$f(x_1)=155 ,f(x_2)=\dfrac{9}{8}$
$f(x_1)=25 ,f(x_2)=\dfrac{9}{4}$
Question 3
Quel est l'antécédent de $-512$ par la fonction $f(x)=(x-6)^3$?
$x=6$
$x=-2$
$x=170.66$
$x=-6$
Poser la variable $X=x-6$ et noter que l'on revient à $f(X)=X^3$.
Poser la variable $X=x-6$. On se retrouve avec l'équation $X^3=-512$.
On la résout en utilisant sa calculatrice en tapant $\sqrt[3]{512}$ car on sait qu'un nombre négatif reste négatif par la fonction cube. On trouve $-8$
On doit maintenant revenir à la variable $x$, on fait le changement de variable inverse $x=X+6$.
On a trouvé $X=-8$ donc $x=-8+6=-2$.
L'antécédent de $-512$ par $f$ est le nombre $-2$.
Question 4
Donner la position relative de la courbe représentative de la fonction $f(x)=x^3+8$ par rapport à celle de la fonction $g(x)=-6x^2-12x$.
On les notera respectivement $C_f$ et $C_g$.
$C_f$ est au dessus de $C_g$ lorsque $x<-2$
$C_f$ est au dessus de $C_g$ lorsque $x<0$
$C_f$ est au dessus de $C_g$ lorsque $x>0$
$C_f$ est au dessus de $C_g$ lorsque $x>-2$
Faire le tableau de signe de la différence $f(x)-g(x)$.
On effectue la différence $f(x)-g(x)=x^3+8+6x^2+12x$.
On reconnait l'identité remarquable $(x+a)^3=x^3+3ax^2+3xa^2+a^3$ pour $a=2$.
Ainsi, $f(x)-g(x)=x^3+8+6x^2+12x=(x+2)^3$
On est revenu à l'étude d'une fonction $h(X)=X^3$, avec $X=x+2$
On sait que $h(X)$ est positif pour $X>0$, c'est à dire pour $x+2>0$ ou encore $x>-2$
Conclusion : $f(x)>g(x)$ pour $x>-2$ ainsi $C_f$ est au dessus de $C_g$ lorsque $x>-2$, en dessous sinon.
Question 5
Trouver les $x$ tels que la fonction $f(x)=x^3$ soit au dessus de la fonction $g(x)=9x$.
$x\in [3, +\infty[$
$x\in ]-\infty , -3] \cup [0, 3]$
$x\in [-3 , 0] \cup [3, +\infty[$
$x\in [-3 , 0] $
Tracer le tableau de signe de la fonction $h(x)=f(x)-g(x)$
On fait la différence $f(x)-g(x)=x^3-9x$. On reconnait que $0$ est une racine évidente, donc on peut factoriser par $x$.
$f(x)-g(x)=x(x^2-9)$
$\iff f(x)-g(x)=x(x-3)(x+3)$
Donc $f(x)-g(x)$ est positif pour les $x\in [-3 , 0] \cup [3, +\infty[$, donc $f(x)>g(x)$ pour $x\in [-3 , 0 ] \cup [3, +\infty[$
Ainsi $C_f$ est au-dessus de $C_g$ pour $x\in [-3 , 0 ] \cup [3, +\infty[$.