L'énoncé
Dans cet exercice, on ne considère que des réels positifs. Cocher la bonne réponse.
Tu as obtenu le score de
Question 1
La moyenne arithmétique d’une série de deux nombres vaut 10,5. Un des deux nombres vaut 7. Que vaut la moyenne géométrique ?
$\sqrt{98}$.
$\sqrt{91}$.
$\sqrt{89}$.
La moyenne géométrique vaut $\sqrt{ab}$. La moyenne arithmétique vaut $\dfrac{a+b}{2}$.
$\alpha = \dfrac{a+b}{2} = 10,5$
On pose $a=7$. On remplace $a$ dans la formule de la moyenne arithmétique : $ \alpha = \dfrac{7+b}{2} = 10,5$.
$b = 2\times 10,5-7 = 14$.
$\gamma = \sqrt{ab} = \sqrt{7\times 14}= \sqrt{98}$.
Question 2
La moyenne arithmétique d’une série de deux nombres vaut 3. Un des deux nombres vaut 2.
Que vaut la moyenne géométrique ?
$\sqrt{2}$.
$\sqrt{3}$.
$\sqrt{8}$.
La moyenne géométrique vaut $\sqrt{ab}$. La moyenne arithmétique vaut $\dfrac{a+b}{2}$.
$\alpha = \dfrac{a+b}{2} = 3$
On pose $a=2$. On remplace $a$ dans la formule de la moyenne arithmétique : $ \alpha = \dfrac{2+b}{2} = 3$.
$b = 2\times 3-2 = 4$.
$\gamma = \sqrt{ab} = \sqrt{2\times 4}= \sqrt{8}$.
Question 3
La moyenne géométrique d’une série vaut 2. L’un des deux nombres de cette série vaut 2. Que vaut la moyenne arithmétique ?
$2$.
$4$.
$\sqrt{2}$.
La moyenne géométrique vaut $\sqrt{ab}$. La moyenne arithmétique vaut $\dfrac{a+b}{2}$.
$\gamma = \sqrt{ab} = 2$.
On pose $a=2$. On remplace $a$ dans la formule de la moyenne géométrique :
$\gamma= \sqrt{2b} = 2$.
$\gamma^2 = (\sqrt{2b})^2 = 2^2$.
Comme $b>0, (\sqrt{2b})^2=2b$
$\gamma^2 = 2b = 4$. Ainsi :
$b = 2$.
$\alpha = \dfrac{2+2}{2} = 2$.
Question 4
La moyenne géométrique d’une série vaut $\sqrt{7}$. L’un des deux nombres de cette série vaut 2. Que vaut la moyenne arithmétique ?
$\sqrt{11}$.
$4$.
$\dfrac{11}{4}$.
La moyenne géométrique vaut $\sqrt{ab}$. La moyenne arithmétique vaut $\dfrac{a+b}{2}$.
$\gamma = \sqrt{ab} = \sqrt{7}$.
On pose $a=2$. On remplace $a$ dans la formule de la moyenne géométrique :
$\gamma = \sqrt{2b} = \sqrt{7}$.
$\gamma ^2= (\sqrt{2b})^2 = (\sqrt{7})^2$.
$\gamma ^2= 2b = 7$. Ainsi :
$b = \dfrac{7}{2}$.
$\alpha = \dfrac{2+\dfrac{7}{2}}{2} = \dfrac{11}{4}$.
Question 5
La moyenne géométrique d’une série vaut $\sqrt{3}$. L’un des deux nombres de cette série vaut $\dfrac{1}{2}$. Que vaut la moyenne arithmétique ?
$4$.
$\dfrac{13}{4}$.
$13$.
La moyenne géométrique vaut $\sqrt{ab}$. La moyenne arithmétique vaut $\dfrac{a+b}{2}$.
$\gamma = \sqrt{ab} = \sqrt{3}$.
On pose $a=\dfrac{1}{2}$. On remplace $a$ dans la formule de la moyenne géométrique :
$\gamma = \sqrt{\dfrac{1}{2}b} = \sqrt{3}$.
$\gamma^2 = (\sqrt{\dfrac{1}{2}b})^2 = (\sqrt{3})^2$.
$\gamma^2 =\dfrac{1}{2}b = 3$. Ainsi,
$b = 3\times 2=6$.
$\alpha= \dfrac{\dfrac{1}{2}+6}{2} = \dfrac{13}{4}$.