Fiche de cours
Comparaison des moyennes géométriques et arithmétiques
Définition
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs,
on définit la moyenne arithmétique par $\alpha = \dfrac{a + b}{2}$ et la moyenne géométrique par $\beta = \sqrt{ab}$.
Exemples :
Pour appréhender la moyenne géométrique, on s'intéresse à l'exemple suivant.
On place $1000$ € sur un compte à un taux de 2% l'année 1 et 3% l'année 2.
Pour savoir la somme que l'on possède au bout de deux ans, on effectue le calcul suivant : $1000 \times 1,02 \times 1,03 = 1050,6$ €
On se demande à présente le taux moyen qu'il faudrait choisir, c'est à dire un taux sui serait le même les années 1 et 2 et qui permettrait d'obtenir la même somme au bout de deux ans.
Ainsi en notant $q$ le taux moyen, on doit résoudre l'équation suivante : $1000 \times q \times q = 1000 \times 1,02 \times 1,03$ c'est à dire $q^2 = 1,02 \times 1,03$.
La solution est donc $q = \sqrt{1,03 \times 1,02} \approx 1,0249$.
Comparaison de moyenne arithmétique et géométrique.
Pour ce faire, on étudie le signe de la