L'énoncé
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Question 1
Comme la dernière note de la gamme pythagoricienne est dissonante :
Il est impossible de changer la tonalité du morceau.
On doit absolument changer la tonalité du morceau.
La tonalité du morceau doit être modifiée.
Question 2
Pour créer la gamme tempérée, on doit :
Multiplier par un intervalle $J$ au hasard la fréquence de la note précédente.
Multiplier par un intervalle $J$ toujours identique la fréquence de la note précédente.
Diviser par un intervalle $J$ toujours identique la fréquence de la note précédente.
On multipliera chaque fréquence précédente par l’intervalle $J,$ identique, pour créer la gamme tempérée.
Question 3
On a $f_3 = J\times f_2$. On peut aussi écrire :
$f_3 = J^2\times f_1$
$f_3 = \dfrac{J}{2} \times f_1$
$f_3 = 2f_1$
$f_3 = Jf_2 = J\times J f_1 = J^2\times f_1$
Question 4
On veut que la 13e note :
Soit exactement sur la quinte.
Soit exactement sur la fréquence de 200 Hz.
Soit exactement sur l’octave.
Question 5
Par conséquent, $f_{13}$ vaut :
$f_{13} = 2f_1$
$f_{13} = 2f_2$
$f_{13} = Jf_11$
Comme la 13e note doit être sur l’octave, on peut écrire $f_{13} = 2f_1$.
Question 6
On peut aussi écrire $f_{13}$ d’une autre façon :
$f_{13} = J^2f_1$
$f_{13} = 2f_12$
$f_{13} = J^{12}f_1$
$f_{13} = J\times J\times J \times …\times J\times f_1= J^{12}f_1$
Question 7
Une égalité apparaît alors et c’est :
$J^{12} = 2$
$J = 2$
$J^2 = 2$
$f_{13} = J^{12}f_1 = 2f_1$
Donc on a : $J^{12} = 2$.
Question 8
Si $J^2 = 2$, $J$ vaut :
$J = \dfrac{1}{2}$
$J = \sqrt{2}$
$J = 2^{\dfrac{1}{2}}$
Il y a deux bonnes réponses.
$J^2 = 2$ donc $J = \sqrt{2} = 2^{\dfrac{1}{2}}$
Question 9
Ici, l’intervalle $J$ vaut :
$J = 2^{\dfrac{1}{12}}= 1,05946...$
$J = 2$
$J = 10,5946...$
Question 10
Dans cette gamme tempérée, étant donné que toutes les notes sont dans l’octave :
Le changement de tonalité du morceau est impossible.
Le changement de tonalité du morceau est aisé.
Le changement de tonalité du morceau ne pourra se faire qu’après modifications.