L'énoncé
Monsieur A reçoit un lot de voitures de la part de son garagiste. Ce garagiste affirme que le lot contenait 35 % de voitures de sport.
Monsieur A choisi 5 voitures au hasard. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de voiture de sport obtenues. Compte tenu de la quantité importante de voitures, on considère que la probabilité de succès reste identique après chaque tirage.
On suppose aussi que le garagiste dit la vérité.
Question 1
Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres
On considère une répétition de cinq expériences identiques et indépendantes. On reconnait un schéma de Bernoulli. On considère que le succès est l’événement « la voiture choisie est une voiture de sport ». La probabilité de succès est $p=0,35$.
$X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $5$ et $0,35$ qu’on notera $\mathcal{B}( 5 ; 0,35 )$.
Penser à toutes les conditions pour justifier l'utilisation de la loi binomiale.
Question 2
Calculer la probabilité d’obtenir une seule voiture de sport
On a :
$P(X=1)=\binom {5}{1}(0,35)^{1} (0,65)^4$
Soit :
$P(X=1)\approx 0,3124$
Question 3
Calculer la probabilité d’obtenir au moins une voiture de sport.
On cherche $P(X\geq1)$
On sait aussi que $P(X\geq1)=1-P(X=0)$
Ainsi :
$P(X\geq1)=1-0,116$
$P(X\geq1)\approx 0,884$
Penser à l'événement contraire.
Question 4
Monsieur A choisi maintenant 80 voitures. Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de voitures de sport obtenus.
1) Déterminer la loi de probabilité suivie par $Y$.
On a une répétition de $80$ expériences identiques et indépendantes, c’est donc aussi d’un schéma de Bernoulli. On considère que le succès est l’événement « la voiture choisie est une voiture de sport ». La probabilité de succès est $p=0,35$.
$Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres $80$ et $0,35$ qu’on note $\mathcal{B}( 80 ; 0,35 )$.
Question 5
À l’aide de la table de probabilités cumulées ci-dessous, déterminer l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence correspondant à Y.
| $k=$ | $P(Y=k)$ | $P(Y\leq k)$ |
| 29 | 0,0043 | 0,0091 |
| 30 | 0,0073 | 0,0164 |
| 31 | 0,0118 | 0,0282 |
| 32 | 0,0181 | 0,0463 |
| 33 | 0,0264 | 0,0727 |
| 34 | 0,0364 | 0,1091 |
| 35 | 0,0479 | 0,157 |
| 36 | 0,0599 | 0,2169 |
| 37 | 0,0712 | 0,2881 |
| 38 | 0,0806 | 0,3687 |
| 39 | 0,0868 | 0,4555 |
| 40 | 0,0889 | 0,5444 |
| 41 | 0,0868 | 0,6312 |
| 42 | 0,0806 | 0,7118 |
| 43 | 0,0712 | 0,783 |
| 44 | 0,0599 | 0,8429 |
| 45 | 0,0479 | 0,8908 |
| 46 | 0,0364 | 0,9272 |
| 47 | 0,0264 | 0,9536 |
| 48 | 0,0181 | 0,9717 |
| 49 | 0,0118 | 0,9835 |
| 50 | 0,0073 | 0,9908 |
| 51 | 0,0043 | 0,9951 |
| 52 | 0,0024 | 0,9975 |
On vérifie les conditions suivantes ;
$n=80\geq 25$
$p=0,35$ donc $0,2<p<0,8$
Enfin, $np= 0,35\times 80\geq 5$
Il suffit de chercher les plus petits entiers $a$ et $b$ tels que : $P( Y≤ a ) ≥ 0,025$ et $P( Y ≤ b ) ≥ 0,975$
On trouve $a=31$ et $b= 49$ en utilisant la colonne de droite du tableau.
Ainsi, l'interavlle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
$I=\left[\dfrac{31}{80} ;\dfrac{49}{80} \right]$
$I=[0,3875; 0,6125]$
Question 6
Monsieur A reçoit $20$ voitures de sport et s'estime lésé par son fournisseur. Qu'en pensez-vous ?
La fréquence observée de voitures de sports est :
$f=\dfrac{20}{80}=0,25$
Or, $0,25\notin I$
Donc il est probable que Monsieur A n'ait pas reçu autant de voitures de sports que ce qu'il aurait dû recevoir.
Il est légitime qu'il se sente lésé.