L'énoncé
On suppose que ce sondage revient à une prise d’échantillon, c'est-à-dire que chaque personne interrogée est choisie au hasard parmi les votants et qu’elle va réellement voter pour la personne qu’elle aura désignée lors du sondage.
42 personnes interrogées déclarent voter pour le candidat A. On note \(p\) la proportion des votants qui voteront effectivement pour le candidat A.
Les calculs effectués dans cet exercice seront arrondis au millième.
Question 1
Donner un intervalle de confiance de \(p\) au seuil de 95%.
Dans cet échantillon de 98 personnes il y en a 42 qui vont voter pour A.
La fréquence observée est donc :
\(f = \dfrac{42}{98}\) soit \(f = \dfrac{3}{7}\) soit \(f \approx 0,429\).
L'intervalle de confiance au seuil de 95% est donc :
\(I_C = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) soit :
\(I_C =\left[\dfrac{3}{7} - \dfrac{1}{\sqrt{98}} ; \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{\sqrt{98}}\right]\) donc :
\(I_C = [0,327 ; 0,529]\)
\(I_C = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
Que vaut \(f\) ? C'est-à-dire la fréquence observée ?
La fréquence observée c'est aussi le pourcentage de personnes qui vont voter pour A.
Que vaut \(n\) ? C'est-à-dire la taille de l'échantillon ?
Question 2
Le candidat A est déclaré élu si plus de 50% des votants l'ont choisi.
A la vue de ces résultats, est-il possible que le candidat A soit élu ? Justifier votre réponse.
Dire que \(I_C = [0,327 ; 0,529]\) signifie, avec un seuil de confiance de 95%, qu'il y aura entre 32,7% et 52,9% de la population qui votera effectivement pour A.
50% étant compris dans l'intervalle de confiance on peut dire qu'il est donc possible que A soit élu.
Quelle interprétation pouvez-vous faire de votre intervalle de confiance ?
Quel pourcentage de vote doit obtenir un candidat pour être élu ?
Est-ce le cas ?
Question 3
Un deuxième sondage est organisé dans les mêmes conditions mais on interroge 1 000 personnes.
Parmi celles ci, 565 voteront pour le candidat A.
À la vue de ces résultats, est-il possible que le candidat A ne soit pas élu ? Justifier votre réponse.
Dans ce nouvel échantillon de 1 000 personnes, il y en a 565 qui vont voter pour A.
La fréquence observée est donc :
\(f =\dfrac{565}{1000}\)
\(f =\dfrac{113}{200}\) donc
\(f = 0,565\)
L'intervalle de confiance au seuil de 95% est donc :
\(I_C =\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\)
\(I_C = \left[ 0,565 - \dfrac{1}{\sqrt{1000}} ; 0,565 + \dfrac{1}{\sqrt{1000}}\right]\) donc :
\(I_C = [0,533 ; 0,597]\)
Dire que \(I_C = [0,533 ; 0,597]\) signifie, avec un seuil de confiance de 95%, qu'il y aura entre 53,3% et 59,7% de la population qui votera effectivement pour A.
50% étant inférieur aux bornes de l'intervalle de confiance, on peut dire, qu'au seuil de 95%, qu'il est difficile que le candidat A ne soit pas élu.
Il faut refaire toute l'étude des deux premières questions mais avec ces nouvelles données.