L'énoncé
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Question 1
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x^2 + 12x + 18\).
\(f(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\)
\(f(x) < 0\) sur \(\mathbb{R}\)
\(f\) ne s'annule jamais sur \(\mathbb{R}\).
\(f(x) \geq 0\) sur \(\mathbb{R}\)
Comment déterminer le signe d'un trinôme sur \(\mathbb{R}\) ?
Quel est le signe de \(\Delta\) ? Et celui de \(a\) ?
Quel est le signe du polynôme ?
Attention, \(f(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\) est différent de \( f(x) \geq 0\) sur \(\mathbb{R}\)
Ici on a \(\Delta = 0\) donc \(f\) est du signe de \(a = 2\), soit positif sur \(\mathbb{R}\) mais s'annule en un point \((x =-3)\).
Positif ne veut pas dire strictement positif.
Question 2
Le trinôme \(-4x^2+5x-2\) :
S'annule une fois sur \(\mathbb{R}\).
Est strictement positif sur \(\mathbb{R}\).
Est strictement négatif sur \(\mathbb{R}\).
Ne s'annule jamais sur \(\mathbb{R}\).
Comment déterminer le signe d'un trinôme sur \(\mathbb{R}\) ?
Quel est le signe de \(\Delta\) ?
À quelle condition un trinôme s'annule-t-il ?
Quel est le signe de \(a\) ?
Ici on a \(\Delta = -7<0\) donc le trinôme ne s'annule jamais et il est du signe de \(a = - 4 < 0\) sur \(\mathbb{R}\).
Question 3
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -4x^2 + 9x - 5\).
\(f\) ne s'annule jamais sur \(\mathbb{R}\).
\(f(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f(x) < 0\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f(x) > 0 \) sur \(\left]1 ; \dfrac{5}{4}\right[\)
Comment déterminer le signe d'un trinôme sur \(\mathbb{R}\) ?
Quel est le signe de \(\Delta\) ? Quelles propositions peut-on alors écarter ?
Ici on a \(\Delta = 1\) donc \(f\) admet deux racines qui sont \(1\) et \(\dfrac{5}{4}\).
\(f\) est du signe de \(a = -4\), donc négatif, à l'extérieur des racines et positif entre les racines.
Si besoin, dressez un tableau de signes pour plus de clarté.
Les propositions 1, 2 et 3 ne peuvent correspondre qu'à un discriminant négatif.
Question 4
L'ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de l'inéquation \(-7 x ^2 + 3x + 4 \leq 0\) est :
\(S =\left] – \infty ; -\dfrac{4}{7}\right[ \cup ]1 ; +\infty [\)
\(S = ] – \infty ; -1] \cup \left [\dfrac{4}{7} ; +\infty \right[\)
\(S =\left] – \infty ;-\dfrac{4}{7}\right] \cup [1; +\infty [\)
\(S = \left[ -\dfrac{4}{7} ; 1\right]\)
Résoudre une inéquation du second degré revient à déterminer le signe d'un trinôme.
Que vaut \(\Delta\) ? Y a-t-il des racines ? Une ou deux ?
Quel est alors le signe de \(-7x^2 + 3x + 4\) ? (Dressez le tableau de signes si besoin.)
Ici on a \(\Delta = 121\) donc le trinôme \(-7x^2 + 3x + 4\) admet deux racines qui sont \(1\) et \(-\dfrac{4}{7}\).
\(-7x^2 + 3x + 4\) est du signe de \(a = - 7\), donc négatif, à l'extérieur des racines.
Dans un exercice rédigé, il serait plus facile de dresser le tableau de signes du trinôme pour pouvoir conclure.
Attention aux bornes des intervalles de la proposition 1. Cette solution correspond à l'inéquation : \(-7x^2 + 3x + 4 < 0\)
Question 5
Le polynôme \(-11x ^2 + 12x + 20\) est :
Positif pour \(x\) compris entre \(-\dfrac{10}{11}\)et \(2\).
Négatif pour \(x\) compris entre \(-\dfrac{10}{11}\)et \(2\).
Positif pour \(x\) compris entre \(- 2\) et \(\dfrac{10}{11}\).
Négatif pour \(x\) inférieur à \(-\dfrac{10}{11}\) ou \(x\) supérieur à \(2\).
Comment déterminer le signe d'un trinôme sur \(\mathbb{R}\) ?
Quel est le signe de \(\Delta\) ?
Quelles sont les racines ?
Dressez le tableau de signes.
Écrire éventuellement les solutions sous forme d'intervalles pour une meilleure compréhension.
Ici on a \(\Delta = 1024\) donc le polynôme \(-11x^2 + 12x + 20\) admet deux racines qui sont \(\dfrac{-10}{11}\) et \(2\).
Il est du signe de \(a = -11\), donc négatif, à l'extérieur des racines donc sur \(] -\infty; \dfrac{-10}{11}\normalsize ] \cup [2;+\infty [\) et positif entre les racines donc sur \( [\dfrac{-10}{11} ; 2]\).
Dans un exercice rédigé il serait plus facile de dresser le tableau de signes du trinôme pour pouvoir conclure.