Fiche de cours
Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme et leur produit
I) Propriété :
Si deux nombres $a$ et $b$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ alors ils sont solutions de l'équation $x^2 - Sx + P = 0$.
Preuve :
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $\left \{ \begin{array}{l} a + b = S \\ a \times b = P \end{array} \right.$
On sait que $a$ et $b$ sont solutions de l'équations $(x - a)(x-b) = 0$.
En développant cette équation, on trouve alors que $x^2 - ax -bx + ab = 0$ ou encore $x^2 - (a + b)x + ab = 0$.
Cela revient ainsi à dire que $a$ et $b$ sont solutions de l'équations $x^2 - Sx + P = 0$.
II) Application
Exemple 1:
On cherche à connaitre les dimensions d'un rectangle qui vérifie les conditions suivantes :
Son aire mesure 192 cm$^2$ et son périmètre mesure 64 cm.
Les inconnues du problèmes sont donc $L$ la longueur et $l$ la largeur et vérifient :
$\left \{ \begin{array}{l} L\times l = 192 \\ 2\times(L + l) = 64 \end{array} \right.$ ou encore $\left \{ \begin{array}{l} L\times l = 192 \\ L + l = 32 \end{array} \right.$
Comme précédemment, on sait que $L$ et