L'énoncé
Répondre aux questions suivantes. Une seule réponse est correcte à chaque fois.
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Question 1
Soit un rectangle d'aire 50 $cm^2$ et de périmètre 30 cm. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
On notera $L$ la longueur et $l$ la largeur.
$L=11$ et $l=4$
$L=10$ et $l=5$
$L=20$ et $l=5$
$L=8$ et $l=7$
L et l sont solutions du polynôme suivant $(x-L)(x-l)=0$
L'aire d'un rectangle est $L\times l$
Le périmètre d'un rectangle est $2(L+l)$
L et l sont solution du polynôme suivant $(x-L)(x-l)=0$ que l'on développe :
On obtient $x^2 -(L+l)x+L\times l=0$
L'application numérique avec les valeurs du périmètre et de l'aire donne : $x^2 -15x+50=0$
On calcule le discriminant $\Delta=15^2 -4\times50 = 25 =5^2$
Les racines sont donc $\dfrac{15+5}{2}=10=L$ et $\dfrac{15-5}{2}=5=l$
Question 2
On pose $f$ la fonction suivante : $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9x+20}$.
Quel est l'ensemble de définition de cette fonction ?
$\mathbb{R}$
$]-\infty;4[ \cup ]4;5[ \cup ]5;\infty[$
$]-\infty;4[ \cup ]4;\infty[$
$]-\infty;5[ \cup ]5;\infty[$
Une fonction rationnelle est définie sur un ou plusieurs intervalles où le dénominateur ne s'annule pas.
On résout $x^2-9x+20=0$
Pour trouver l'ensemble de définition on résout $x^2-9x+20=0$.
On calcule le discriminant et les racines. On a $\delta=1=1^2$
On trouve alors les racines qui sont $4$ et $5$.
Question 3
Quelles sont les racines du polynôme suivant $2x^2-56x+390$?
Trouver les solutions à l'aide d'un sytème et non du discriminant. Il faut utiliser $s$ la somme des racines et $p$ leur produit.
$13$ et $14$
$14$ et $16$
$13$ et $15$
$15$ et $16$
Factoriser
Comparer ce polynôme au polynôme théorique $x^2-sx+p$
Première équation du système en notant a et b les racines : $s=a+b=28$
Deuxième équation du système en notant a et b les racines : $p=ab=195$
Avec la première équation exprimer a en fonction de b puis injecter dans la deuxième et résoudre la nouvelle équation à une inconnue.
On a le polynôme suivant après factorisation $2(x^2-28x+195)$
On en déduit donc les deux équations suivantes $s=a+b=28$ et $p=ab=195$
On a $a=b-28$ ce qui donne $b(b-28)=195 \Longleftrightarrow b^2-28b -195=0$
À l'aide d'un calcul de discriminant on déduit que $b=13$ ou $b=15$ et ce qui nous permet de dire que a vaut respectivement 15 ou 13.
Les racines sont donc 13 et 15.
Question 4
Soit un rectangle $IJKL$ de longueur $L$ et de largeur $l$. Ces deux inconnues sont les deux solutions de l'équation $x^2-17x+60=0$
Quelles est la longueur de la diagonale $[IK]$?
$12$
$13$
$14$
$15$
Comparer le polynôme au polynôme théorique $x^2-sx+p$
Utiliser Pythagore pour avoir l'hypoténuse
$L$ et $l$ sont solutions de $x^2-17x+60=0$
On calcule le discriminant $\Delta = 17^2-4\times60=49=7^2$
Les racines sont donc $L=12$ et$l= 5$.
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en notant $IK$ la longueur de l'hypoténuse.
$IK^2=IJ^2+JK^2$
$IK^2=12^2+5^2$
On obtient $H=13 cm$
Question 5
Factoriser l'expression $(8x^2-80x+72)+(7x^2+7x-14)$
$(x-1)(15x-58)$
$(x-1)(15x+58)$
$(x-2)(15x-58)$
$(x+2)(15x-58)$
Factoriser les deux termes par le coefficient devant le $x^2$
Trouver les racines
Écrire le polynôme factorisé
Méthode 1 :
On factorise les deux termes : $(8(x^2-10x+9)+(7(x^2+x-2))$
Pour le premier polynôme la somme vaut 10 et le produit 9 : les racines sont 1 et 9.
Pour le deuxième on a pour racines 1 et -2.
La forme factorisée est donc $(8(x-1)(x-9)+(7(x+2)(x-1))$
On factorise par $(x-1)$ et on obtient donc $(x-1)\times(8(x-9)+7(x+2))$
Ou encore $8(x^2-10x+9)+(7(x^2-x-2)=(x-1)(15x-58)$
Méthode 2 :
On développe l'expression initiale et on cherche les racines
$(8x^2-80x+72)+(7x^2+7x-14)=15x^2-73x+58$