L'énoncé
Répondre aux questions suivantes. Une seule réponse est correcte.
Dans cet exercice, on notera $s$ la somme et $p$ le produit des racines d'un trinôme.
Tu as obtenu le score de
Question 1
On pose le polynôme du second degré suivant : $ x^2 -sx +p$
Le polynôme possède deux racines notées $a$ et $b$.
Que valent $s$ et $p$ ?
$ s = a+b , p =\dfrac{a}{b}$
$s = a+b , p =a\times b $
$s = a-b , p =a\times b $
$s = a-b , p =\dfrac{a}{b}$
$s = a+b , p =a\times b $
C'est la définition d'une somme et d'un produit
Question 2
On pose le polynôme suivant $(x-2)(x+3)$
Quelles sont les valeurs de $s$ et de $p$ ?
$s = -5, p=-6$
$ s= 5, p= 6$
$ s=-1, p=-6$
$s = 1, p = 6$
Les racines sont $2$ et $-3$
Donc on a :
$s=2+(-3)=-1$ et
$p=2\times (-3)=-6$
Question 3
On pose le polynôme suivant : $x^2 +9x +18$
Quelles sont les valeurs de $s$ et $p$?
$s=-9 $ et $p=18$
$s=-9 $ et $p=-18$
$s=9 $ et $p=18$
$s=9 $ et $p=-18$
On identifie au polynôme théorique du cours qui est : $x^2-sx+p$
Donc $s=-9$ et $p=18$
Question 4
Soit le polynôme factorisé suivant : $(x-8)(x+10)$
Quelle est sa forme développée ?
Indication : utiliser la notion de somme et produit de racines.
$x^2 +2x +80$
$x^2 +2x -80$
$x^2 -2x +80$
$-x^2 -2x +80$
Les racines sont $8$ et $-10$
$s=8+(-10)=-2$
$p=8\times(-10) = -80$
On injecte dans le polynôme $ x^2 -sx +p=x^2 +2x -80$
Question 5
Un polynôme possède deux racines $2$ et $3$.
Quelle est sa forme développée ?
Indication : utiliser uniquement la notion de somme et produit de racines.
$x^2 -2x -6$
$x^2 -5x +6$
$x^2 +2x -6$
$x^2 +2x +6$
$s = 2 +3 =5$
$ p = 2 \times3=6$
Et la formule du polynôme est $x^2 -sx +p=x^2-5x+6$
Question 6
On pose le polynôme factorisé suivant : $3(x-2)(x-4)$
Quelle est sa forme développée ?
Indication : utiliser la notion de somme et produit de racines.
$x^2-6x+8$
$3x^2-18x+8$
$3x^2-18x+24$
$3x^2+24x+18$
Les racines sont $2$ et $4$
$p=2\times4=8$
$s=2+4=6$
Avant la multiplication par 3 on a :$x^2 -sx +p=x^2 -6x+8$
Et avec la multiplication on obtient $3(x-2)(x-4)=3x^2-18x+24$
Question 7
On pose le polynôme développé suivant : $x^2-8x+15$
Quelle est sa forme factorisée ?
$(x+3)(x-5)$
$(x-3)(x-5)$
$(x+3)(x+5)$
$(x-3)(x+5)$
On résout le système :
$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}x_1+x_2&=8&\\x_1\times x_2&=15&\\\end{aligned} \right.\end{equation*}$
Les racines sont 3 et 5.
Ainsi : $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$
Question 8
Quelles sont les valeurs de la somme et du produit des racines du polynôme suivant : $x^2-7x+12$
$s=7$ et $p=12$
$s=-7$ et $p=12$
$s=7$ et $p=-12$
$s=-7$ et $p=-12$
Le polynôme théorique est $x^2-sx+p$
Donc par identification : $s=7$ et $p=12$
Question 9
On reprend le polynôme précédent $x^2-7x+12$ $s=7$ et $p= 12$.
Trouver les racines de ce polynôme.
-3 et 4
-3 et -4
3 et 4
3 et -4
On a $s=7$ et $p=12$.
On résout le système :
$\begin{equation*}\left\{\begin{aligned}x_1+x_2&=7&\\x_1\times x_2&=12&\\\end{aligned} \right.\end{equation*}$
Les racines évidentes de ce système sont donc 3 et 4.
Question 10
Soit le polynôme factorisé suivant : $\left(x-\dfrac{3}{4}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$
Quelle est sa forme développée ?
Indication : utiliser la notion de somme et produit de racines.
$x^2 -\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{8}$
$x^2 +\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{8}$
$x^2 -\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{8}$
$x^2 +\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{8}$
Les racines sont \dfrac{3}{4} et -\dfrac{1}{2}. On a donc $s=\dfrac{1}{4}$ et $p=-\dfrac{3}{8}$
La bonne réponse est donc $x^2 -\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{8}$