L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Soit \((d)\) la droite d'équation \(x = 3\). Un vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) à \((d)\) peut avoir pour coordonnées :
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Faire une figure.
Si \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) dirige la droite \((d)\) alors le vecteur de coordonnées \((0;4)\) aussi.
\((d)\) est une droite verticale. Ici \(a = 1\) et \(b = 0\) ; on ne peut donc pas appliquer les formules du cours.
Question 2
Soit \((d)\) : \( y = 2x + 1\), \(\overrightarrow{n}\) un vecteur normal à \((d)\) et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur directeur de \((d)\).
Alors :
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Quelle est une équation cartésienne de \((d)\) ?
Quelles sont alors les coordonnées d'un vecteur normal à \((d)\) et d'un vecteur directeur de \((d)\) ?
\(y = 2x + 1 \Leftrightarrow 2x – y + 1 = 0\)
\(a = 2\) et \(b = - 1 \)
Question 3
Soient trois points \(A(-1;3)\), \(B(3;1)\) et \(C(1;-1)\).
Alors :
Une équation de la droite \((AB)\) est : \(x + 2y = 5\)
Une équation de la droite \((AB)\) est : \(y = \dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}\)
La perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\) a pour équation : \(x + 2y + 1 = 0\)
La perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\) a pour équation : \(- 2x + y + 3 = 0\)
\(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de la droite \((AB)\) et elle passe par le point \(A\) (ou le point \(B\)).
\(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur normal à toute perpendiculaire à la droite \((AB)\).
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) donc \((AB)\) : \( - 2x – 4y + c = 0\). De plus \(A \in (AB)\) donc \((AB)\) : \(- 2x – 4y + 10 = 0\) soit \((AB)\) : \( -x – 2y + 5 =0\) ou encore \((AB)\) : \( x + 2y = 5\).
\(x + 2y = 5\) équivaut à \( y =-\dfrac{1}{2} x + \dfrac{5}{2}\)
\((d)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) et elle passe par \(C\) donc :
\( \begin{align*}M(x;y) \in (d) &\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}= 0\\ & \Leftrightarrow 4(x – 1) – 2(y +1) = 0\\ & \Leftrightarrow - 2x + y + 3 = 0 \end{align*}\)
Question 4
Soient deux points \(A(-2;1)\) et \(B(4;3)\).
Une équation de la médiatrice \((d)\) de \([AB]\) est :
\(-6x – 2y + 10 = 0\)
\( y = 3x - 5\)
\(3x + y – 5 = 0\)
\(x + 3y – 7 = 0\)
La médiatrice d'un segment \([AB]\) est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Faire une figure !
Les coordonnées du milieu de \([AB]\) sont \((\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2} )\)
Quel est un vecteur normal de la médiatrice de \([AB]\) ?
Quel point appartient à cette médiatrice ?
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal de \((d)\).
Le milieu de \([AB]\) est \(I(1;2)\) et \(I \in (d)\).
\( \begin{align*}M(x;y)\in (d) &\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 0\\
&\Leftrightarrow 6(x-1) + 2 (y-2) = 0\\ &\Leftrightarrow 6x + 2y – 10 = 0\\ &\Leftrightarrow - 6x - 2y + 10 = 0 \ (multiplication \ par \ - 1)\\ &\Leftrightarrow 3x + y – 5 = 0 \ (division \ par \ -2)\\
& \Leftrightarrow y = - 3x + 5 \end{align*}\)
Question 5
Soit \(ABC\) un triangle tels que \(A(2;3)\), \(B(6;0)\) et \(C(3;-1).\)
La hauteur \((d)\) du triangle \(ABC\) issue du point \(C\) a pour équation :
\(4x – 3y = 15\)
\(4x – 3y + 15 = 0\)
\(x – \dfrac {3}{4}y = 3\)
\(y= \dfrac {4}{3}x -5\)
Faire une figure !
La hauteur issue du point \(C\) est perpendiculaire au côté \([AB]\) ; en déduire un de ses vecteurs normaux.
Quel point appartient à cette hauteur ?
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à la hauteur \((d)\) issue du point \(C\) et \(C(3;-1) \in (d)\).
\( \begin{align*}M(x;y) \in (d) & \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} = 0\\ &\Leftrightarrow 4(x-3) - 3(y+1) = 0\\ &\Leftrightarrow 4x - 3y = 15\\ & \Leftrightarrow 3y = 4x – 15\\ & \Leftrightarrow y = (4/3)x - 5 \end{align*}\)