L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Soit \((d)\) la droite d'équation \(3x + 4y - 7 = 0\). Un vecteur normal à \((d)\) est :
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -4 \\ 3\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -4\end{pmatrix}\)
Dans le cours on a donné pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\). Ici que valent \(a\), \(b\) et \(c\) ?
On a \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\)
Ici \(a = 3\), \(b = 4\) et \(c = - 7\) et \(\overrightarrow{n}\) a pour coordonnées \((a;b)\)
Question 2
Soit \(A(3;-1)\) et \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \\ 2\end{pmatrix}\).
Une équation de la droite \((d)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) est :
\(4x + 2y – 10 = 0 \)
\(2x + y + 5 =0 \)
\(y = - 2x + 5\)
\(4y + 2x – 10 = 0\)
\(M(x;y) \in (d) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{n} = 0\)
Quelles sont les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AM}\) ? et de \(\overrightarrow{n}\) ?
Si besoin, revoir l'exemple 1 de la fiche de révision.
Il peut y avoir plusieurs réponses, une équation cartésienne et une réduite !
\( \begin{align*}M(x;y) \in (d) &\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{n} = 0 \ avec \ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-3 \\ y+1 \end{pmatrix}\\ & \Leftrightarrow 4(x-3)+2(y+1)=0\\ &\Leftrightarrow 4x + 2y – 10 = 0\\ & \Leftrightarrow 2y = - 4x + 10\\ & \Leftrightarrow y = - 2x + 5 \end{align*}\)
Question 3
Soient \((d_1)\) : \( -2x + 3y - 5 = 0\) et \((d_2)\) : \(3x + 2y + 1 = 0\).
Les deux droites \((d_1)\) et \((d_2) \) sont :
Parallèles
Perpendiculaires
Sécantes
Confondues
\((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
\((d_1)\) et \((d_2)\) sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
\((d_1)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
\((d_2)\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2} = 0\) donc \(\overrightarrow{n_1}\) et \(\overrightarrow{n_2}\) sont orthogonaux.
Question 4
Soit \((d)\) la droite d'équation \(3x - y + 5 = 0\).
Une équation de la droite \((d')\) passant par \(A(3;-1)\) et parallèle à \((d)\) est :
\(- 3x + y – 10 = 0\)
\(3x – y – 10 = 0\)
\(- x + 3y + 6 = 0\)
\( x – 3y – 7 = 0\)
Quel est un vecteur normal à \((d)\) ?
Quel est un vecteur normal à \((d')\) ?
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix}\) est normal à \((d)\)
\( \begin{align*}M(x;y) \in (d') & \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0 \ avec \ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-3 \\ y+1 \end{pmatrix} \\ &\Leftrightarrow 3(x-3) - (y+1)=0\\ &\Leftrightarrow 3x – y – 10 = 0 \end{align*}\)
Question 5
Soit \((d_1)\) la droite d'équation \(x + y - 4 = 0\).
Une équation de la droite \((d_2)\) passant par \(A(1;2)\) et perpendiculaire à \((d_1)\) est :
\( x + y – 3 = 0\)
\(- 2x + 2y – 2 = 0\)
\(x – y + 1 = 0\)
\(x + 2y - 1 =0 \)
Un vecteur normal à \((d_1)\) est un vecteur directeur de \((d_2)\).
Quel est un vecteur normal à \((d_1)\)?
Une équation cartésienne n'est pas unique !
\(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) est normal à \((d_1)\) et est donc un vecteur directeur de \((d_2)\).
Pour \((d_2)\) on a : \(- b = 1\) et \(a = 1\) soit \(b = - 1\) et \(a = 1\)
Une équation cartésienne de \((d_2)\) est donc \(-y + c = 0\)
Comme \(A(1;2) \in (d_2)\) alors on obtient \((d_2)\) : \(x_A – y_A + c = 0 \) et donc \(c=1\) et \((d_2)\) :\( x – y + 1 = 0\). En multipliant cette équation par -2 on obtient : \((d_2)\) : \(-2x +2 y – 2 = 0\).