On considère un segment $[AB]$ tel que $AB = 4$ cm.
Déterminer et tracer l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA}.\vec{MB}= 12$. (On pourra faire intervenir la relation de Chasles avec le point $I$, milieu de $[AB]$.)
Soit $I$ le milieu de $[AB]$. On a donc $IA=2$.
On a : $\vec{MA}.\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}+\vec{IB})$
$\vec{MA}.\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}-\vec{IA}) $
$\vec{MA}.\vec{MB}= MI^2-IA^2$
$\vec{MA}.\vec{MB}=MI^2-4$
Ainsi, :
$M\in E \Leftrightarrow MI^2-4 = 12$
$\Leftrightarrow MI^2=16$
$\Leftrightarrow MI = 4$ ($MI$ est une distance donc positive)
On en déduit que $E$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $4$.