L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Calcule alors \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\)
\(\overrightarrow{u}= k\overrightarrow{v}\) signifie que \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires; pour le savoir on peut utiliser les coordonnées de chaque vecteur ou bien appliquer le critère de colinéarité vu en seconde.
Appliquer le critère de colinéarité permet juste de déterminer si les vecteurs sont ou non colinéaires. Cela ne permet pas de déterminer la valeur du réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\) Ici le critère de colinéarité donne :\(6\times(6) – (-2)\times(-9) = 18 \) ce qui est différent de zéro donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires (c'est-à-dire que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).
De plus, \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 6\times (-9) +(-2)\times 6 =-66\)
Question 2
\(ABCD\) est un carré de coté \(a\) et de centre \(O\). Quelles sont les réponses correctes ?
\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a^2\)
\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = a^2\)
\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO} = \dfrac{1}{4}a^2\)
\( \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC} = 0\)
Ici on doit effectuer les calculs en fonction de \(a\).
Calcule chaque produit scalaire en utilisant le projeté orthogonal.
\(B\) , le centre du carré, est le milieu de chaque diagonale. Son projeté orthogonal sur \([AB]\) est le milieu \(I\) de \([AB]\) et en particulier : \(AI = \frac{1}{2} AB\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont orthogonaux donc que vaut \(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}\) ?
\(B\) est le projeté orthogonal du point \(C\) sur la droite \((AB)\) et donc :
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} \) soit :
\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB^2\)
ET finalement : \( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a^2\)
\(\overrightarrow{AB}= -\overrightarrow{CD}\) et donc :
\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}= -\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CD}=-CD^2 = -a^2 \)
Le milieu \(I\) de \([AB]\) est le projeté orthogonal du point \(O\) sur la droite \((AB)\) et :
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} \) soit :
\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO} = AB. AI\) donc :
\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A0} =\frac{1}{2}a\times a=\frac{1}{2}a^2\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont orthogonaux donc \(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}=0\)
Question 3
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les points \(A(-1;-2)\) \(B(3;1)\) et \(C(3;3)\).
Alors :
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = -8\)
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = -6\)
\(\cos( \widehat{ABC}) = -\dfrac{3}{5}\)
\(\cos( \widehat{ABC}) = -\dfrac{8}{5}\)
Fais une figure !
Avec les coordonnées des points on peut trouver celles des vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
On peut aussi trouver \(||\overrightarrow{BA}||\) et \(||\overrightarrow{BC}||\).
Calcul donc \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}\).
Utilise alors une autre expression du produit scalaire pour déterminer le cosinus de l'angle \(\widehat{ABC}\) en résolvant une équation.
\(\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 4\times 0 + (-3)\times 2 = -6\)
D'une part :
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} =||\overrightarrow{BA}||.||\overrightarrow{BC}|| \times \cos( \widehat{ABC})\) avec :
\(||\overrightarrow{BA}|| = \sqrt{(-4)^2+(-3)^2} \) soit \(||\overrightarrow{BA}| |=5 \) et \(||\overrightarrow{BC}|| = 2\)
Ainsi, \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} =10 \times \cos( \widehat{ABC})\)
D'autre part \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} =-6\)
Par conséquent : \(10 \times \cos( \widehat{ABC})=-6 \Leftrightarrow \cos( \widehat{ABC}) = -\frac{3}{5}\)
Question 4
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les points \(A(1;-3)\) \(B(1;2)\) et \(C(2;-1)\). Soit \(H\) le projeté orthogonal du point \(B\) sur la droite \((AC)\).
Alors :
\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} < 0\)
L'angle \(\widehat {ACB}\) est aigu.
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = 11\)
\(AH = 2\sqrt5\).
Fais une figure !
Utilise les coordonnées pour déterminer les produits scalaires et la longueur \(AH\).
\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} =||\overrightarrow{CA|}|.||\overrightarrow{CB}|| \times \cos( \widehat{ACB})\) Comme \(||\overrightarrow{CA}||\) et \(||\overrightarrow{CB}||\) sont des nombres positifs, le signe du produit scalaire dépend de celui du cosinus de l'angle.
Si l'angle est aigu alors son cosinus est positif et le produit scalaire aussi.
Si l'angle est obtus alors son cosinus est négatif et le produit scalaire aussi !
Dans quelle formule intervient la longueur \(AH\) ?
Pour la proposition 1: \(\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = -5\)
La proposition 2 est fausse car le produit scalaire \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} \)étant négatif alors l'angle (\\widehat{ACB}\) est obtus.
Pour la proposition 3 on obtient : \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = 10\)
Pour la proposition 4 :
D'une part \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = 10\)
D'autre part \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}\) soit \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} =AC\times AH\)
Ainsi : \(AC\times AH = 10 \Leftrightarrow \sqrt5\times AH = 10 \Leftrightarrow AH = \frac{10}{\sqrt5} \)
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt5 \)on obtient \(AH = 2\sqrt5\).
Question 5
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) tels que
\(||\overrightarrow{u}||=3\) et \(||\overrightarrow{v}||=4\) et \(\widehat{(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})}= -\dfrac{\pi}{4} [2\pi]\)
On a :
\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 6\sqrt2\)
\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= -6\sqrt2\)
\(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =25+12\sqrt2 \)
\(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =49\)
Une seule formule du produit scalaire peut ici être utilisée pour calculer \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\)
\(\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) =\frac{\sqrt2}{2}\)
Utilise une nouvelle formule du produit scalaire faisant intervenir \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||\) pour trouver sa valeur en résolvant une équation.
Attention : \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|| \neq ||\overrightarrow{u}||+||\overrightarrow{v}||\)
\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||\times \cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\)
donc \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 12\times \frac{\sqrt2}{2} = 6\sqrt2\)
De plus \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \frac{1}{2}(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u} ||^2 -||\overrightarrow{v}||^2)\) donc
\(2 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 -| |\overrightarrow{u} ||^2 -||\overrightarrow{v}||^2\)
soit \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = 2 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+ ||\overrightarrow{u}| |^2 +||\overrightarrow{v}||^2\)
On a donc \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = 2\times 6\sqrt2 + 3^2+4^2 =25+12\sqrt2 \)