Fiche de cours
Produit scalaire, propriétés
Définitions
Il existe plusieurs façons de définir le produit scalaire.
1) Avec les coordonnées
Soient $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ \end{array} \right )$ deux vecteurs,
le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ scalaire $\overrightarrow{v}$ vaut $\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = {xx}' + {yy}'$.
Exemple :
si $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ \end{array} \right )$ alors $\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 5$.
Le résultat d'un produit scalaire n'a pas d'unité.
On prêtera une attention particulière au fait d'utiliser un point pour signifier le produit scalaire entre deux vecteurs.
A partir des coordonnées, il est possible de calculer la norme d'un vecteur, c'est à dire sa longueur : $\| \overrightarrow{u} \| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
2) Avec l'angle