L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
L'équation \(x^2 + y^2 + 2x + 2y = k\) est celle d'un cercle pour \(k\) valant :
$2$
$0$
$- 6$
$6$
Donne la forme factorisée en fonction de \(k\).
\((x – a)^2 + (y – b)^2 = c\) est un cercle pour \(c > 0\).
\( x^2 + y^2 + 2x + 2y = k \Leftrightarrow (x+1)^2 – 1 + (y+1)^2 - 1 = k \Leftrightarrow (x+1)^2 + (y+1)^2 = k +2\)
Cette équation est celle d'un cercle pour \(k + 2 > 0\) donc pour \(k > - 2\)
Question 2
S'il existe des points appartenant à \(\mathscr{C}\) et à l'axe \((Oy)\) alors leurs coordonnées dont du type \((0 ; k)\) Remplace \(x\) par \(0\) dans l'équation du cercle et cherche s'il existe des valeurs de \(y\) possibles.
S'il existe des points appartenant à \(\mathscr{C}\) et à l'axe \((Ox)\) alors leurs coordonnées dont du type \((k ; 0)\) Remplace \(y\) par \(0\) dans l'équation du cercle et cherche s'il existe des valeurs de \(x\) possibles.
- L'équation \(x^2 + y^2 + 2x + 2y = 3\) est équivalente à \((x+1)^2+(y+1)^2 = 5\)
- Intersection entre \(\mathscr{C}\) et l'axe \((Oy)\) :
Pour \(x = 0\) on obtient : \((0+1)^2+(y+1)^2 =5 \Leftrightarrow (y+1)^2=4 \Leftrightarrow y +1=2\) ou \(y+1=-2 \Leftrightarrow y = 1\) ou \(y =-3\).
Il y a donc deux points d'intersection entre \(\mathscr{C}\) et \((Oy)\) : \(A(0;1)\) et \(B(0;-3)\). - Intersection entre \(\mathscr{C}\) et l'axe \((Ox)\) :
Pour \(y = 0\) on obtient : \((x+1)^2+1 = 5 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 4 \Leftrightarrow x +1=2\) ou \(x+1=-2 \Leftrightarrow x = 1\) ou \(x =-3\).
Il y a donc deux points d'intersection entre \(\mathscr{C}\) et \((Ox)\) : \(C(1;0)\) et \(D(-3;0)\).
Question 3
Soit le triangle \(ABD\) rectangle en \(B\) et tel que \(A(0;4) ,\; B(-2;2)\) et \(D(1;-1)\).
Une équation de son cercle circonscrit est :
\(x^2 + y^2 – x – 3y = 4\)
\(x^2 + y^2 + x + 3y = 4\)
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y -\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{13}{2}\)
\(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y -\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{13}{2}\)
Quel est le cercle de ce cercle ? Et son rayon ?
Donne alors son équation factorisée puis développe-la !
- Le centre du cercle est le milieu \(I\) de \([AD]\) avec \(I(\frac{1}{2} ; \frac{3}{2})\).
- Son rayon est \(\frac{AD}{2}\) avec \(\overrightarrow{AD}(1;-5)\) et donc \(AD = \sqrt{ 26} \). Donc \(r = \frac{\sqrt{26}}{2}\)
- Une équation du cercle est \((x-\frac{1}{2})^2 + (y -\frac{3}{2})^2 = \frac{26}{4}= \frac{13}{2}\)
- En développant on obtient : \(x^2 + y^2 – x – 3y = 4\)
Question 4
Soient deux cercles \(\mathscr{C_1\\}\) d'équation \(x^2 + y^2 - 2x - 6y = 0\) et \(\mathscr{C_2\\}\) d'équation \( x^2 + y^2 - 2x - 6y = 10\). Alors \(\mathscr{C_1\\}\) et \(\mathscr{C_2\\}\) :
Ont le même centre.
Ont le même rayon.
Ont le même diamètre.
Sont sécants.
Donne l'équation factorisée de chaque cercle.
Quel est le centre de \(\mathscr{C_1\\}\) ? et de \(\mathscr{C_2\\}\) ?
Ont-ils le même rayon ?
\(\mathscr{C_1\\}\) a pour équation \((x-1)^2 + (y -3)^2 = 10 \)
\(\mathscr{C_2\\}\) a pour équation \((x-1)^2 + (y -3)^2 = 20\)
\(\mathscr{C_1\\}\) et \(\mathscr{C_2\\}\) ont donc même centre mais pas même rayon. Ils n'ont donc pas le même diamètre et ne sont pas sécants.
Question 5
Soient \(A(1;2)\) et \(B(-1;4)\). L'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=98\) est :
Le cercle de diamètre \( [AB]\).
Un cercle de centre \(\Omega(0;3)\).
Un cercle de rayon \(r = \sqrt2\).
Le cercle de centre \(\Omega(0;3)\) et de rayon \(r = \sqrt{10}\).
Donner les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) puis exprimer \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\).
Résoudre alors \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 98\).
- \(\overrightarrow{MA}(1-x;2-y)\) et \(\overrightarrow{MB}(-1-x;4-y)\)
Donc, \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = (1-x)(-1-x) + (2-y)(4-y)\)
\(\qquad \qquad \qquad \; \; \; = x^2 + y^2 – 6y +7\) - \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} =98 \Leftrightarrow x^2+ y^2 – 6y +7 = 98 \Leftrightarrow x^2 + (y-3)^2 – 9 +7 = 98 \Leftrightarrow x^2 + (y-3)^2 = 100\)
- L'ensemble cherché est donc le cercle de centre \(\Omega(0;3)\) et de rayon \(r = 10\).
- \(\Omega(0;3)\) est le milieu de \([AB]\) mais \(\frac{AB}{2} = 10\) donc la proposition 1 est impossible.