L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Le cercle de centre \(\Omega(1;4)\) et de rayon \(r = 3\) a pour équation :
\((x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 3\)
\( (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 9\)
\((x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 9\)
\((x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 3\)
Utilise la définition du cours et remplace \(a\) et \(b\) par les coordonnées du centre du cercle.
Attention à bien mettre le rayon au carré.
Attention à bien mettre le rayon au carré.
Il suffit d'appliquer son cours. Si besoin regarde la vidéo correspondante.
Question 2
Le cercle de centre \(\Omega(-3;2)\) et de rayon \(r = 5\) a pour équation :
\( x^2 + y^2 + 6x + 4y = 12\)
\(x^2 + y^2 - 6x – 4y = 12\)
\(x^2 + y^2 + 6x – 4y = 12\)
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12\)
Utilise la définition du cours et remplace \(a\) et \(b\) par les coordonnées du centre du cercle.
Attention à bien mettre le rayon au carré et aux erreurs de signes en développant.
Attention à bien mettre le rayon au carré et aux erreurs de signes en développant.
On a :
\((x + 3)^2 + (y -2)^2 = 25\)
En développant, il vient :
\(x^2 + y^2 + 6x – 4y = 12\)
\((x + 3)^2 + (y -2)^2 = 25\)
En développant, il vient :
\(x^2 + y^2 + 6x – 4y = 12\)
Question 3
Soient \(A(-2;-3)\) et \(B(2;-1)\). Le cercle de diamètre \([AB]\) a pour équation :
\(x^2 + y^2 + 4x = 1\)
\(x^2 + y^2 + 4y = 1\)
\(x^2 + (y+2)^2 = 5\)
\(x^2 + (y - 2)^2 = 5\)
Utilise la définition donnée par le produit scalaire.
Il faut aussi vérifier les propositions 3 et 4. Soit tu les développes et tu vérifies si tu obtiens la forme développée soit tu cherches les coordonnées du centre du cercle et tu utilises alors la première définition du cours.
Il faut aussi vérifier les propositions 3 et 4. Soit tu les développes et tu vérifies si tu obtiens la forme développée soit tu cherches les coordonnées du centre du cercle et tu utilises alors la première définition du cours.
\(M(x;y) \in C \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow (x+2)(x-2) + (y+3)(y+1) = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 +4y = 1\)
Le centre de \(C\) est le point oméga milieu de \([AB]\) de coordonnées \((0;-2)\).
Le rayon de \(C\) est \(\frac{AB}{2}\). Or \(\overrightarrow{AB}(4;2)\) et donc \(AB = \sqrt{20} = 2\times \sqrt{5}\).
Ainsi \( r = \sqrt{5} \) et donc \(M(x;y) \in C \Leftrightarrow x^2 + (y+2)^2 = 5\)
Le centre de \(C\) est le point oméga milieu de \([AB]\) de coordonnées \((0;-2)\).
Le rayon de \(C\) est \(\frac{AB}{2}\). Or \(\overrightarrow{AB}(4;2)\) et donc \(AB = \sqrt{20} = 2\times \sqrt{5}\).
Ainsi \( r = \sqrt{5} \) et donc \(M(x;y) \in C \Leftrightarrow x^2 + (y+2)^2 = 5\)
Question 4
L'équation \( x^2 + y^2 + 4x + 8y = 5\) est :
Celle du cercle de centre \(\Omega(-2;-4)\) et de rayon \(r = 5\).
Celle du cercle de centre \(\Omega(2;4)\) et de rayon \(r = 5\).
Équivalente à l'équation \((x-2)^2 + (y+4)^2 = 25\).
Équivalente à l'équation \((x+2)^2 + (y+4)^2 = 25\).
La méthode est décrite dans le cours; tu dois l'avoir comprise et savoir la refaire.
Trouve d'abord à quelle équation celle de l'énoncé est équivalente; ensuite tu pourras facilement donner le centre et le rayon du cercle obtenu.
Trouve d'abord à quelle équation celle de l'énoncé est équivalente; ensuite tu pourras facilement donner le centre et le rayon du cercle obtenu.
En factorisant l'expression donnée, on a :
\((x+2)^2 + (y+4)^2 = 25\).
Ceci est l'équation cartésienne d'un cercle de centre \(\Omega(-2;-4)\) et de rayon \(r = 5\).
\((x+2)^2 + (y+4)^2 = 25\).
Ceci est l'équation cartésienne d'un cercle de centre \(\Omega(-2;-4)\) et de rayon \(r = 5\).
Question 5
Soient \(A(-4 ; -5)\), \( C(2;3)\) et \(D(3;-4)\). Alors:
Les vecteurs \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow {CD}\) sont orthogonaux.
Les vecteurs \(\overrightarrow{DA}\)
et \(\overrightarrow {DC}\) sont orthogonaux.
\(D\) appartient au cercle de diamètre \([AC]\).
\(D\) appartient à la droite \((AC)\).
Fais une figure.
\( \overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont orthogonaux signifie que \( \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{DC} = 0\) ou encore que le point \(D\) appartient au cercle de diamètre \([AC]\).
\( \overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont orthogonaux signifie que \( \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{DC} = 0\) ou encore que le point \(D\) appartient au cercle de diamètre \([AC]\).
En calculant les corrdonnées et le produit scalaire des vecteurs, on montre que : \( \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{DC} = 0\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow {DC}\) sont donc orthogonaux et \(D\) appartient au cercle de diamètre \([AC]\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow {DC}\) sont donc orthogonaux et \(D\) appartient au cercle de diamètre \([AC]\).