L'énoncé
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sqrt{x + 2}\)
Question 1
Déterminer \(\mathscr{D_f}\) le domaine de définition de la fonction \(f\).
\(f(x)\) est définie si et seulement si :
\( x +2 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq - 2\)
Donc, \(\mathscr{D_f}= [-2 ; + \infty[\)
A quelle condition \(\sqrt{x+2}\) est-elle définie ?
Question 2
Calculer l'image de \(7\) et de \(\dfrac{1}{3}\) par \(f\).
\(f(7) = \sqrt{7+2} =\sqrt{9} = 3\).
L'image de \(7\) par \(f\) est \(3\).
Ainsi :
\(f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \sqrt{\dfrac{1}{3}+ 2} = \sqrt {\dfrac{7}{3}} \)
L'image de \(\dfrac{1}{3}\) par \(f\) est \(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\).
L'image de \(7\) est \(f(7)\). Idem pour \(\dfrac{1}{3}\).
Attention aux erreurs de calculs ! Vérifier à l'aide des tables de la calculatrice.
Question 3
Déterminer, s'ils existent, les antécédents de \( -3\) et de \(5\) par \(f\).
Pour \(x \in \mathscr{D_f} ,\)
\( f(x) = - 3 \Leftrightarrow \sqrt{x+2} = - 3\)
Par définition même de la racine carrée cette équation n'admet aucune solution et \(-3\) n'a aucun antécédent par \(f\).
Pour \(x \in \mathscr{D_f} , \)
\(f(x) = 5 \Leftrightarrow \sqrt{x+2}\ = 5\)
\( \Leftrightarrow x + 2 = 25\)
\( \Leftrightarrow x=23 \)
L'antécédent de \(5\) par \(f\) est \(23\).
Déterminer un antécédent c'est résoudre une équation.
S'il(s) existe(nt) l(es) antécédent(s) de \(– 3\) par \(f\) sont la (les) solution(s) de l'équation \(f(x) = - 3\).
Une équation se résout par équivalence.
Question 4
Déterminer les variations de \(f\) sur \(\mathscr{D_f}\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\mathscr{D_f}\) tels que \(0 \leq a < b\).
Le but est de comparer \(f(a) = \sqrt{ a+2} \) avec \( f(b) = \sqrt{ b+2}\)
On a : \(0 \leq a < b\)
Donc \( 2 \leq a + 2 < b + 2\) et
\(\sqrt{ 2} \leq \sqrt{ a+2} < \sqrt{ b+2}\)
Car la fonction racine carrée est croissante sur \([2 ; +\infty[\).
Ainsi, \(f(a) < f(b)\).
En conclusion : pour \(a\) et \(b\) deux réels de \(\mathscr{D_f}\) tels que \(a < b\) on a \(f(a) < f(b)\) ;
\(f\) est donc croissante sur \(\mathscr{D_f}\).
Si vous avez déjà vu les fonctions dérivées alors calculez la dérivée de \(f\).
Si vous avez déjà vu les fonctions associées alors utilisez les résultats du cours.
Sinon comparez \(f(a)\) et \(f(b)\) pour \(a\) et \(b\) deux réels de \(\mathscr{D_f}\) tels que \(0 \leq a < b\).
Question 5
Encadrer \(f(x)\) pour tout réel \(x\) de \([\dfrac{1}{4}; 7]\)
On a \(x \in\left[ \dfrac{1}{4} ; 7\right]\) soit \(\dfrac{1}{4} \leq x \leq 7 \)
\( f\) est croissante sur \(\mathscr{D_f}\) donc sur\(\left[ \dfrac{1}{4} ; 7\right]\) et par conséquent : \( f\left(\dfrac{1}{4}\right) \leq f(x) \leq f(7)\)
Or,
\( f\left(\dfrac{1}{4}\right) = \sqrt{ \dfrac{1}{4} +2}= \sqrt{\dfrac{9}{4}} =\dfrac{3}{2} \)
et \( f(7) = 3\) (voir question 2)
On a donc \( \dfrac{3}{2} \leq f(x) \leq 3 \)
En conclusion : pour \( x \in\left[ \dfrac{1}{4} ; 7\right]\) , on a : \( \dfrac{3}{2} \leq f(x) \leq 3 \)
Quelles sont les variations de \(f\) sur \(\left[ \dfrac{1}{4} ; 7\right]\) ?
En déduire un encadrement de \(f\) sur \(\left[ \dfrac{1}{4} ; 7\right]\)
Question 6
Déterminer la position relative de \(\mathscr{C_f}\), la courbe représentative de \(f\), par rapport à celle de la fonction racine carré sur \([ 0 ; + \infty[\).
Pour \(x \in [ 0 ; + \infty[\), soit \(A(x) = f(x) -\sqrt x\) :
\(A(x) = \sqrt{x+ 2 } - \sqrt x\)
Attention : On ne peut pas déterminer le signe de \(A(x)\) sous cette forme.
En effet : \(\sqrt{x+ 2 }\) et \(\sqrt x\) sont deux nombres positifs mais cela ne nous donne aucune renseignement sur le signe de la différence.
En revanche, leur somme est positive : \( \sqrt{x+ 2 } + \sqrt x > 0 \). D'où l'intérêt de passer par la quantité conjuguée
Pour \(x \in [ 0 ; + \infty[\),
\(A(x) = \dfrac{(\sqrt {x +2} - \sqrt x)(\sqrt{x +2} + \sqrt x) }{ \sqrt{x +2} + \sqrt x}\)
\(A(x) = \dfrac{(\sqrt {x +2}^2 - \sqrt x^2) }{ \sqrt{x +2} + \sqrt x}\)
\(A(x) = \dfrac{x+2-x }{ \sqrt{x +2} + \sqrt x}\)
\(A(x) =\dfrac{2 }{ \sqrt{x +2} + \sqrt x}\)
Pour \(x \in [ 0 ; + \infty[, \sqrt {x+ 2} >0 \) et \(\sqrt x \geq 0 \) donc \(\sqrt{x+ 2} +\sqrt{x }>0\)
Ainsi : \(A(x) = f(x) - \sqrt x > 0\) sur \([0; +\infty[ \)
Ainsi, \(A(x) > 0\) sur \( [ 0 ; + \infty[\) ce qui signifie que \(f(x) >\sqrt x \)
Soit que \(\mathscr{C_f}\) est toujours au-dessus de la courbe représentative de la fonction racine carrée sur \( [ 0 ; + \infty[\)
Calculer \(f(x) – \sqrt x\).
Peut-on trouver le signe de \(f(x) – \sqrt x\) ? Pourquoi ?
Utiliser la quantité conjuguée.
Chercher alors le signe de \(f(x) – \sqrt x\).