L'énoncé
$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{3e^x}{e^x+1}$.
$Cf$ est la courbe représentative de $f$.
Question 1
Calculer la dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.
$f$ est du type $\dfrac{u}{v}$ avec $u = 3e^x$ et $v = e^x+1$.
Donc, $f’$ est du type $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$ avec $u’(x) = 3e^x$ et $v’(x) = e^x$.
Ainsi :
$f’(x) = \dfrac{3e^x\times (e^x +1)- 3e^x \times e^x}{(e^x+1)^2}$
$f’(x) = \dfrac{3e^{2x}+ 3e^x- 3e^{2x}}{(e^x+1)^2}$
$f’(x) = \dfrac{3e^x}{(e^x+1)^2}$.
Il faut utiliser la dérivée d'un quotient.
Question 2
En déduire les variations de $f$.
$3e^x$ est toujours positif car il est composé d’une exponentielle.
$(e^x +1)^2$ est toujours positif car c’est le carré d’une fonction strictement positive.
Donc, f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Il faut décomposer chaque partie de $f$.
Question 3
Démontrer que $f(x) = \dfrac{3}{1+e^{-x}}$.
Partons de $f(x) = \dfrac{3e^x}{e^x+1}$.
On multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^{-x}$ :
$f(x) = \dfrac{3e^x\times e^{-x}}{(e^x+1)\times e^{-x}}$.
$f(x) = \dfrac{3e^0}{e^0+e^{-x}}$.
$f(x) = \dfrac{3}{1+e^{-x}}$.
Il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par $e^{-x}$.
Question 4
Calculer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$.
$f'(0)=\dfrac{3e^0}{(e^0+1)^2}$
$f'(0)=\dfrac{3}{4} $
Il s'agit juste de calculer $f'(0)$
Question 5
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $Cf$ en $0$.
$T_0 :y= f’(0)(x-0)+f(0)$
$T_0 :y= \dfrac{3e^0}{(e^0+1)^2}\times x + \dfrac{3}{1+e^0}$
$T_0 :y= \dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$
Formule à connaitre : $T_a :y= f’(a)(x-a)+f(a)$