Fiche de cours
La suite $U_n = e^{na}$
Introduction
Soit $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ la suite définie par :
Pour tout $n \in \mathbb{N}, U_n = e^{na}$ avec $a \in \mathbb{R}$.
Si $a = 0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}, U_n = e^{0} = 1$.
Etude de la suite $U_n = e^{na}$
Conjecture :
On suppose donc dans la suite que $a \neq 0$.
On se demande tout d'abord si la suite est géométrique.
On commence donc par calculer les premiers termes de la suite.
$U_0 = 1$ ; $U_1 = e^{a}$ ; $U_2 = e^{2a}$.
Puis on calcule les rapports successifs :
$\dfrac{U_1}{U_0} = e^{a}$
$\dfrac{U_2}{U_1} =\dfrac{e^{2a}}{e^{a}} = e^{2a - a}= e^{a} $
Ainsi, on peut émettre la conjecture que la suite semble géométrique de raison $e^{a}$.
Nature de la suite :
Vérifions cette conjecture :
Soit $n \in \mathbb{N}$,
$U_{n + 1} = e^{(n + 1)a} = e^{na + a} = e^{na} \times e^a$.
Ainsi, on a $U_{n + 1} = e^a e^{na} $ pour tout tout $n \in \mathbb{N}$.
La suite $(U_n)_{_{n \in \mathbb{N}}}$ est donc une suite géométrique de raison $q = e^a$ et $U_0 = 1$.
Il est important de raiso