Exercice - Fonction exponentielle : la suite $U_n = e^{na}$

$u_0 = 1-e^{\frac{0}{3}} = 1- e^0 = 1-1 = 0$.

$u_1= 1-e^{\frac{1}{3}} \approx -0,39$.

$u_2 = 1-e^{\frac{2}{3}}\approx  -0,95$.

$u_3 = 1-e^{\frac{3}{3}} = 1-e^1\approx  -1,72$.

$u_4 = 1-e^{\frac{4}{3}}\approx -2,79$.

La suite $(u_n)$ semble décroissante.

$u_{n+1}-u_n = 1-e^{\frac{n+1}{3}}-(1-e^{\frac{n}{3}})$

$u_{n+1}-u_n = 1-e^{\frac{n+1}{3}}-1+e^{\frac{n}{3}}$

$u_{n+1}-u_n = e^{\frac{n}{3}} - e^{\frac{n+1}{3}}$

$u_{n+1}-u_n = e^{\frac{n}{3}} - e^{\frac{n}{3}+\frac{1}{3}}$

$u_{n+1}-u_n = e^{\frac{n}{3}} - e^{\frac{n}{3}}\times e^{\frac{1}{3}}$

$u_{n+1}-u_n = e^{\frac{n}{3}} \times (1-e^{\frac{1}{3}})$

D’après le calcul précédent, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$.

En effet, $e^{\frac{n}{3}}$ est toujours positif car c’est une exponentielle.

Ensuite, $1-e^{\frac{1}{3}}$ peut être écrit sous la forme $e^0 - e^{\frac{1}{3}}$.

Par comparaison : $\frac{1}{3} > 0$

$e^{\frac{1}{3}} > e^0$

Par conséquent, $e^0 - e^{\frac{1}{3}} <0$.

Donc, la suite $(u_n)$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

On peut également démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante en assimilant $u_n$ à une fonction du type $f(n)$.

On a alors : $(u_n) = f(n) = 1-e^{\frac{n}{3}}$.

On peut alors l’étudier comme une fonction $f$ avec $f(x) = 1- e^{\frac{x}{3}}$, définie sur $\mathbb{R}$.

Pour cela, on calcule sa dérivée $f’(x)$ :

$f’(x) = 0 - \dfrac{1}{3}\times e^{\frac{x}{3}} = -\dfrac{1}{3}\times e^{\frac{x}{3}}$.

On étudie ensuite le signe de la dérivée : $e^{\frac{x}{3}}$ est toujours positif car c’est une exponentielle mais le coefficient $-\dfrac{1}{3}$ devant rend la dérivée négative.

$f$ est donc bien décroissante sur $\mathbb{R}$, tout comme la suite $(u_n)$.