L'énoncé
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Question 1
Pourquoi utilise-t-on les intégrations par parties ?
Pour dériver des fonctions.
Car on ne connaît pas toujours la primitive d'une fonction.
Pour permettre de calculer une primitive à l'aide d'un ordinateur.
Question 2
Que dit le théorème ?
$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [ u\times v \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$
C'est en effet le théorème.
$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b uv \, \text{d}t - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$
$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [ u\times v \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv \, \text{d}t$
Question 3
Dans le théorème, quelle hypothèse est faite sur les fonctions $u$ et $v$ ?
$u$ et $v$ sont intégrables.
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u$ et $v$ sont dérivables sur $[a, b]$.
En effet, $u$ et $v$ doivent être dérivables sur l'intervalle d'étude.
Question 4
Sur quelle propriété déjà connue se base la démonstration ?
Sur la formule de dérivation d'un produit.
On utilise en effet que $(u\times v)' = u'v + uv'$.
Sur la formule de dérivation d'un quotient.
Sur la formule de dérivation de fonction composée.
Question 5
Quelle propriété de l'intégrale utilise-t-on pour écrire que $\displaystyle \int_a^b \big((uv)' - uv' \big) \, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b \big(uv)' \, \text{d}t - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$ ?
La loi de composition.
La dérivabilité de l'intégrale.
La linéarité de l'intégrale.
On utilise en effet que l'intégrale d'une somme de fonctions continues est égale à la somme des intégrales des fonctions continues.
Question 6
Que vaut $\displaystyle \int_a^b \big(uv)' \, \text{d}t$ ?
$uv$
$u(b) - v(a)$
$u(b)v(b) - u(a)v(a)$
En effet, $\displaystyle \int_a^b \big(uv)' \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$.
Question 7
Dans l'exemple du cours, $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t$ pourquoi choisit-on $u' = e^t$ ?
Il n'y a pas de raison, on aurait pu choisir $u' = t$.
Car la primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.
Ainsi, on choisit $v = t$ et $v' = 1$, ce qui facilite le calcul final.
Car on prend toujours la fonction de droite comme étant égale à $u$.
Question 8
Que vaut $[f(x)]_a^b$ ?
$f(a) - f(b)$
$f(b) - f(a)$
C'est une définition.
$f(x)$
Question 9
Que vaut $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t$ ?
On ne peut pas calculer cette intégrale.
$1$
C'est en effet la valeur que l'on trouve en intégrant par parties.
$+\infty$
Question 10
On peut utiliser l'intégration par parties pour calculer des primitives ?
Oui
On peut en effet l'utiliser pour calculer une primitive.
Non
Il s'agit en effet de calculer une intégrale lorsque l'on ne connaît pas une primitive de la fonction.