L'énoncé
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Question 1
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. $\ln a=\ln b$ équivaut à :
$a=b$ ou $a=-b$
$a=b$ et $a=-b$
$a=b$
Question 2
Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a>0$. $\ln a=b$ équivaut à :
$a=e^b$
En effet, $\ln a=b \iff e^{\ln a}=e^b \iff a=e^b$
$a=\ln b$
$a=b$
Question 3
Résoudre $\ln x=1$.
$x=0$
$x=1$
$x=e$
C'est un résultat du cours.
Question 4
Résoudre $\ln x=-1$.
Il n'y a pas de solution.
$x=0$
$x=e^{-1}$
$\ln x=-1\iff x=e^{-1}$
Question 5
Résoudre $\ln(2x+4)=\ln (x-2)$ sur $]2; +\infty[$.
Il n'y a pas de solution.
$\ln(2x+4)=\ln (x-2) \iff 2x+4=x-2 \iff x=-6$
$-6$ n'appartient pas à l'ensemble d'étude de l'équation.
$x=-6$
$x=-\ln 6$
Question 6
Résoudre $\ln(2x-6)=\ln (x-2)$ sur $]3; +\infty]$.
Il n'y a pas de solution.
$x=4$
$\ln(2x-6)=\ln (x-2)\iff 2x-6=x-2 \iff x=4$
$x=-4$
Question 7
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. $\ln a\geq\ln b$ équivaut à :
$a \geq b$
En effet, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
$a \leq b$
$a=b$ ou $a=-b$
Question 8
Résoudre dans $\mathbb{R}$ $e^x=-\ln 2$.
$x=e^{-2}$
$x=-e^{-2}$
Il n'y a pas de solution.
En effet $e^x>0$ et $-\ln 2<0$.
Question 9
Résoudre dans $\mathbb{R^{*+}}, \ln x\geq-3$.
$x\in [-3; +\infty[$
$x\in [-e^3; +\infty[$
$x\in [e^{-3}; +\infty[$
En effet : $ \ln x\geq-3 \iff x\geq e^{-3}$.
Question 10
Résoudre $\ln x^2>\ln x$ sur $]0;+\infty[$.
$x \in ]0;+\infty[$
$x \in ]e;+\infty[$
$x \in ]1;+\infty[$
En effet $\ln x^2>\ln x\iff x^2>x \iff x(x-1)>0$.
On sait que $x>0$ donc cette inéquation est vérifiée lorsque $x-1>0$.
En effet, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.